Uma partícula se move ao longo da curva definida por
E uma partícula se move ao longo da curva definida por
Em que pontos as trajetórias dos pontos e se cruzam? As partículas vão colidir?
Passo 1
Vamos resolver o item (a):
Fazer a igualdade e encontrar sistema:
Logo:
Passo 2
Resolver o sistema:
Vamos reescrever a segunda equação evitando o termo com o cosseno ao quadrado. Lembre-se de que podemos sempre dizer que:
Remanejando esse resultado, temos então que:
Logo:
Vamos reescrever nossas equações:
Passo 3
Observe que a tanto na primeira quanto na segunda equação, os termos devem ser positivos. Na primeira, porque temos um número elevado ao quadrado de um lado da equação. E na segunda porque temos uma raiz quadrada.
Então podemos elevar a primeira equação por e a segunda por :
Passo 4
Igualando os segundos membros das equações, encontramos o seguinte:
Chamemos :
Então:
Passo 5
Lembrando que o enunciado nos diz que , podemos então encontrar as soluções dessas equações:
Observe que não há nenhum valor para cujo é negativo. Por isso, a última equação não tem solução.
Passo 6
Agora vamos calcular os respectivos valores de para cada valor de :
Observação: Da equação , sabemos que , por isso na segunda equação acima!
Passo 7
Calcular ou para encontrar o(s) ponto(s):
Parece mais convidativo calcular :
Passo 8
Maravilha! E as partículas colidem?
Claro que não! Pois nos dois casos.
Logo, as partículas nunca colidirão!
Resposta
As trajetórias se cruzam em e .
As partículas não vão colidir.