Na figura abaixo mostre que a potência dissipada em R é máxima para R = r . Mostre que essa potência máxima é P = ε 2 4 r .

Passo 1

Opa! Primeiro de tudo, é bom ter uma noção quais as variáveis nós precisamos lidar para poder resolver esse problema. Ele fala em potência e a gente já vê na figura as grandezas R e i .

Pra calcular a potência no resistor R com esses dados é só usar

P = R i ²

Passo 2

Mas a gente não sabe quem é i , então vamos busca-la!

Pela Lei das Malhas, adotando o sentido da corrente, teremos:

ε - R i - r i = 0

i = ε R + r

Show?

Show!

Passo 3

Agora é só tacar lá na fórmulinha da potência.

P = R i ² = R ε R + r ² = R ε 2 [ R + r ] ²

Passo 4

Mas pera, agora vamos entrar no mais delicado da questão.

Vemos que pra uma dada fonte com ddp ε e r , para cada valor pra R teremos um valor pra P . Assim, podemos dizer que P é uma função de R e pra otimizar essa função temos que derivar e igualar a zero. Lembra lá do cálculo? Espero que sim. :}

d P d R = d R ε 2 R + r 2 d R = ε 2 . d R R + r 2 d R = 0

Derivando, pela regra do quociente, vamos ter:

d P d R = ε 2 . 1 . R + r 2 R + r 4 - 2 R + r R R + r 4 = ε 2 1 r + R 2 - 2 R R + r 3 = 0

Fazendo o MMC disso aí, vamos ter:

d P d R = ε 2 r - R R + r 3 = 0

r - R = 0

R = r

Passo 5

Agora é só substituir o valor de R = r lá na potência. Daí, teremos:

P = r ε 2 [ r + r ] ² = ε 2 4 r

Como queríamos demonstrar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Circuito de uma Malha

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