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Exercícios Resolvidos de Circuito RLC com fonte

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Exercício 41235678910

Enunciado

Para o circuito abaixo, determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar nossas condições iniciais e finais para a corrente i .

Em t = 0 - , o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Além disso, a fonte de corrente vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada.

Passo 2

Então, para t = 0 - , analisamos o circuito abaixo.

A corrente fornecida pela fonte passará toda pelo curto circuito. Logo, não passará corrente pelo resistor de 40   Ω . Logo, pela lei de Ohm,

i 0 - = 30 10 = 3   A

v 0 - = 0

Passo 3

Precisamos encontrar a condição inicial para a derivada da corrente. Em t = 0 + , a fonte de corrente passa a funcionar e vale 6   A . Então, a gente tem esse circuito aí.

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0   V

i 0 + = i 0 - = 3   A

Como o circuito é paralelo, a tensão é a mesma para todos os elementos. Logo, no indutor

v = L d i d t

Em t = 0 + , como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente,

v 0 + = v 0 - = 0

Portanto,

v 0 + = 4 d i ( 0 + ) d t = 0

d i 0 + d t = 0

Passo 4

Agora, nós vamos fazer uma coisa que vai nos facilitar muito. Vamos usar transformação de fontes. A fonte de tensão que está em série com o resistor vai se transformar numa fonte de corrente em paralelo com o resistor. Lembra disso?

Quando realizamos a transformação de fontes temos que respeitar a lei de Ohm. Logo o valor da fonte de corrente será

I = V R = 30 10 = 3   A

Logo, nosso circuito ficará assim,

Ainda podemos reduzir mais o circuito, já que temos dois resistores em paralelo e duas fontes de corrente também em paralelo.

Então, somando o valor das fontes e calculando a resistência equivalente

R e q = 10 × 40 10 + 40 = 8   Ω

Chegamos ao circuito abaixo.

Esse circuito nós conhecemos bem! É o circuito R L C Paralelo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os parâmetros α e ω 0 , para sabermos qual o tipo de amortecimento do circuito.

Sabemos que no circuito R L C paralelo

α = 1 2 R C = 1 2 8 0,01 = 6,25

ω 0 = 1 L C = 1 ( 4 ) ( 0,01 ) = 5

Como α > ω 0 , temos o caso de superamortecimento. Onde sua solução geral é

i t = I G + A e r 1 t + B e r 2 t

Onde, I G é a corrente da fonte e

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Portanto,

I G = 9   A

r 1 = - 6,25 + 6,25 2 - 5 2

r 1 = - 6,25 + 3,75 = - 2,5

e

r 2 = - 6,25 - 3,75 = - 10

Então, para esse circuito a corrente tem a seguinte expressão

i t = 9 + A e - 2,5 t + B e - 10 t

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

i 0 + = 3   A                 e                 d i 0 + d t = 0

Logo,

i 0 + = 9 + A e - 2,5 ( 0 ) + B e - 10 ( 0 ) = 3

9 + A + B = 3

A + B = - 6

Derivando i t , temos

d i d t = - 2,5 A e - 2,5 t - 10 B e - 10 t

Logo,

d i 0 + d t = - 2,5 A e - 2,5 ( 0 ) - 10 B e - 10 ( 0 ) = 0

- 2,5 A - 10 B = 0

Resolvendo o sistema abaixo,

A + B = - 6 - 2,5 A - 10 B = 0

Isolando A na primeira equação e substituindo na segunda, temos

- 2,5 - 6 - B - 10 B = 0

15 + 2,5 B - 10 B = 0

- 7,5 B = - 15

B = 2

Logo,

A = - 6 - 2 = - 8

Portanto, a solução completa final é

i t = 9 - 8 e - 2,5 t + 2 e - 10 t         A

Resposta

i t = 9 - 8 e - 2,5 t + 2 e - 10 t         A

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Calcule v para t0 , se o circuito está em regime permanente em t = 0 - ,
Referindo-se ao circuito da Figura 8.66, determine:(a) i ( 0 + ) e v ( 0 + ) (b) d i ( 0 + ) / d t e d v ( 0 + ) / d t (c) i ( ∞ ) e v ( ∞ )
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Obtenha v(t) e i(t) para t0 no circuito da Figura 8.84.