Uma tensão de ramo em um circuito é descrita por
Se as condições iniciais forem , determine .
Passo 1
O enunciado forneceu para a gente qual a expressão para a tensão e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.
Passo 2
A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.
Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.
Passo 3
Essa EDO tem a seguinte equação característica,
Vamos encontrar as raízes dessa equação.
Passo 4
Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é
Onde,
Logo, para a nossa EDO
Então, nossa solução homogênea será
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Logo,
Passo 6
Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.
Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é
Passo 7
Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes e . Para isso, vamos utilizar as condições iniciais.
Para encontrarmos , vamos derivar para usarmos a outra condição inicial. Já sabemos que , então
Derivando,
Logo,
Como o enunciado nos disse que
Temos,
Passo 8
Portanto, substituindo os valores encontrados para as constantes, a solução completa para a EDO de segunda ordem é