Determine as respostas ao degrau unitário e ao impulso no circuito abaixo.
Passo 1
O enunciado nos pede a tensão no indutor quando a corrente da fonte for primeiro um degrau unitário e depois um impulso unitário . Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso em que Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante , não há circulação de corrente no circuito e para a fonte de corrente vale . Logo, para vamos analisar o circuito abaixo.
Sabemos que a tensão no indutor tem a seguinte relação:
E como o indutor está em paralelo com o resistor de , eles possuem a mesma tensão.
Aplicando LCK no nó:
Como, para , .
Logo,
Passo 3
Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.
Primeiro, vamos resolver a homogênea:
Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:
Agora, precisamos encontrar a solução particular.
Como é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:
sendo uma constante.
Substituindo, temos:
Como a derivada de uma constante é zero:
Portanto, a solução geral é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor da constante Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante , não há circulação de corrente no circuito. Logo, para . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:
Então, utilizando a nossa condição inicial
Substituindo:
Logo, a corrente no indutor para qualquer instante de tempo será:
Também podemos escrever assim:
Passo 5
Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor, finalmente podemos encontrar o valor de Sabemos que:
Substituindo,
Logo,
Também poderíamos encontrar , pela equação de tensão no resistor.
Substituindo :
Viu só!
Passo 6
Agora, precisamos encontrar para quando . No instante , um impulso de corrente no indutor causaria uma corrente infinita passando por ele, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente fornecido pela fonte deve passar somente pelos resistores.
Quando esse impulso unitário de corrente passa pelo resistor de , ele gera um impulso de tensão no resistor e, consequentemente, no indutor, já que eles estão em paralelo. Portanto podemos dizer que:
Passo 7
Encontramos o valor de no instante . Agora temos que calcular para .
Como a corrente da fonte é zero para , a fonte de corrente pode ser substituída por um circuito aberto, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.
Já sabemos que a corrente para esse circuito tem a seguinte valor:
Agora, lembra daquele teorema que um impulso unitário de tensão no indutor altera instantaneamente sua corrente de zero para ampéres?
Então, a gente viu que em é aplicado um impulso de tensão de no indutor. Logo, esse impulso de vai alterar a corrente do indutor instantaneamente para ampéres.
Logo,
Passo 8
Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor para , finalmente podemos encontrar o valor de Sabemos que:
Substituindo,
Logo, a expressão geral para quando a fonte de corrente é um degrau unitário é: