UFRJ, P3-2019.1
Considere as afirmativas abaixo:
- Existe tal que
- Existe tal que
- Ambas são verdadeiras
- I é falsa e II é verdadeira
- I é verdadeira e II é falsa
- Ambas são falsas
Passo 1
Show de bolinhas meus amores, queremos classificar essas formas quadráticas pra saber a existência de sua solução. Por exemplo na afirmativa (I) temos:
Ou melhor:
Logo, precisamos saber se existe alguma solução pra esse sistema, ou seja, queremos saber se essa forma quadrática assume valores negativos. E pra classificar essa função a gente precisa decompor ela na forma de uma matriz. Saca só, para uma forma quadrática geral, do tipo:
Decompomos como:
Logo para o nosso exemplo (I):
Portanto a matriz , representa a transformação que nossa função realiza no espaço. Então se a gente descobrir os valores que a transformação assume, teremos uma noção se é positivo ou negativo. E agora que começa a ficar legal, porque na álgebra, a gente já tem um número que indica as direções da nossa transformação, é o famosíssimo autovalor. Então se a gente descobrir os autovalores da matriz, estraremos descobrindo os valores que nossa função pode assumir.
Passo 2
Iradoso, então agora a gente precisa descobrir os autovalores da nossa matriz. MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de números decimais, podemos usar dois bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.
O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor
Saca só, na nossa matriz , se a gente somar os elementos de cada coluna, vamos ter que:
E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor .
**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).
Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir o outro. E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra é que:
A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores
Saca só, como a matriz é , vamos possuir dois autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de e . Logo a soma dos autovalores é:
Já para nossa matriz , a soma da diagonal principal é:
Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:
E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale, logo:
Passo 3
Logo, nossos autovalores são:
Um autovalor é positivos e o outro é nulo, isso quer dizer que nossa função só pode assumir valores maiores ou iguais a :
Então quando ele diz que:
Ele tá afirmando que nossa função assume o valor negativo de , o que a gente viu que é impossível!! Logo nossa afirmativa é falsa.
Passo 4
Agora na nossa afirmativa (II), temos:
Então devemos verificar de novo, se nossa função assume valores negativos. E pra isso a gente pode repetir o processo da afirmativa (I). Tal que a decomposição dessa forma quadrática é:
Passo 5
Show de boletas, e de acordo com nossos bizus master de todos os tempos, temos que a soma das colunas é:
Logo o primeiro autovetor é . Já a soma da diagonal principal é:
Logo a soma dos autovalores é:
Portanto os autovalores são:
Ou seja, ambos são positivos, fazendo com que nossa função assuma somente valores positivos, tal que:
Maass, nossa afirmativa (II), diz que:
O que também é impossível. Logo nossa afirmativa (II) é falsa.
Resposta certa, letra (d).
Resposta
Letra (d).