Exercícios Resolvidos de Classificação de Formas Quadráticas

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

  1. Existe x ,   y tal que 2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 + 1 = 0
  2. Existe x ,   y tal que 6 x 2 - 8 x y + 6 y 2 + 1 = 0
  1. Ambas são verdadeiras
  2. I é falsa e II é verdadeira
  3. I é verdadeira e II é falsa
  4. Ambas são falsas

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, queremos classificar essas formas quadráticas pra saber a existência de sua solução. Por exemplo na afirmativa (I) temos:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 + 1 = 0

Ou melhor:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = - 1

Logo, precisamos saber se existe alguma solução pra esse sistema, ou seja, queremos saber se essa forma quadrática assume valores negativos. E pra classificar essa função a gente precisa decompor ela na forma de uma matriz. Saca só, para uma forma quadrática geral, do tipo:

f x = a x 2 + b x y + c y 2

Decompomos como:

a x 2 + b x y + c y 2 = x y a b 2 b 2 c x y

Logo para o nosso exemplo (I):

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = x y 2 - 4 2 - 4 2 2 x y

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = x y 2 - 2 - 2 2 x y

Portanto a matriz 2 - 2 - 2 2 , representa a transformação que nossa função realiza no espaço. Então se a gente descobrir os valores que a transformação assume, teremos uma noção se é positivo ou negativo. E agora que começa a ficar legal, porque na álgebra, a gente já tem um número que indica as direções da nossa transformação, é o famosíssimo autovalor. Então se a gente descobrir os autovalores da matriz, estraremos descobrindo os valores que nossa função pode assumir.

Passo 2

Iradoso, então agora a gente precisa descobrir os autovalores da nossa matriz. MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de números decimais, podemos usar dois bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.

O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor

Saca só, na nossa matriz 2 - 2 - 2 2 , se a gente somar os elementos de cada coluna, vamos ter que:

2 + - 2 = 0

- 2 + 2 = 0

E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a 0 , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor 0 .

**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).

Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir o outro. E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra é que:

A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores

Saca só, como a matriz é 2 × 2 , vamos possuir dois autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de λ 1 e λ 2 . Logo a soma dos autovalores é:

λ 1 + λ 2

Já para nossa matriz 2 - 2 - 2 2 , a soma da diagonal principal é:

2 + 2 = 4

Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:

λ 1 + λ 2 = 4

E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale   λ 1 = 0 , logo:

0 + λ 2 = 4

λ 2 = 4

Passo 3

Logo, nossos autovalores são:

λ 1 = 0 ,     λ 2 = 4

Um autovalor é positivos e o outro é nulo, isso quer dizer que nossa função só pode assumir valores maiores ou iguais a 0 :

f x ≥ 0

Então quando ele diz que:

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 + 1 = 0

2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 = - 1

Ele tá afirmando que nossa função f x assume o valor negativo de - 1 , o que a gente viu que é impossível!! Logo nossa afirmativa é falsa.

Passo 4

Agora na nossa afirmativa (II), temos:

6 x 2 - 8 x y + 6 y 2 + 1 = 0

6 x 2 - 8 x y + 6 y 2 = - 1

Então devemos verificar de novo, se nossa função assume valores negativos. E pra isso a gente pode repetir o processo da afirmativa (I). Tal que a decomposição dessa forma quadrática é:

6 x 2 - 8 x y + 6 y 2 = x y 6 - 8 2 - 8 2 6 x y

6 x 2 - 8 x y + 6 y 2 = x y 6 - 4 - 4 6 x y

Passo 5

Show de boletas, e de acordo com nossos bizus master de todos os tempos, temos que a soma das colunas é:

6 + - 4 = 2

- 4 + 6 = 2

Logo o primeiro autovetor é λ 1 = 2 . Já a soma da diagonal principal é:

6 - 4 - 4 6 ⇒ 6 + 6 = 12

Logo a soma dos autovalores é:

λ 1 + λ 2 = 12

2 + λ 2 = 12

λ 1 = 10

Portanto os autovalores são:

λ 1 = 2 ,     λ 2 = 10

Ou seja, ambos são positivos, fazendo com que nossa função assuma somente valores positivos, tal que:

f x > 0

Maass, nossa afirmativa (II), diz que:

f x = - 1

O que também é impossível. Logo nossa afirmativa (II) é falsa.

Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d).

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