UFRJ, P4-2019.2
Considere as afirmativas:
- Existe tal que
- Existe tal que
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Passo 1
Show de bolinhas meus amores, queremos classificar essas formas quadráticas pra saber a existência de sua solução. Só que a maior sagacidade de todas aqui, é que não precisamos descobrir os valores exatos de .
Brinks, não vamos usar mágica dessa vez. O bizu aqui é que uma forma quadrática representa uma transformação linear no espaço, e determinadas transformações preservam direções e sentidos durante sua atuação, que é o caso de uma forma quadrática. Essas direções e sentidos preservados nos dizem como a transformação se comporta no espaço, isto é, os valores que a função assume, negativos ou positivos. E por pura coincidência do universo, essas direções e sentidos são os nossos conhecidíssimos autovetores e autovalores respectivamente.
Isso quer dizer que de acordo com os autovalores da função, negativos ou positivos, saberemos se a função assume valores negativos ou positivos.
Passo 2
Iradoso, na afirmativa (I) ele diz que possui solução, mas na verdade a gente quer saber se a forma quadrática assume valores negativos como por exemplo .E pra classificar essa função a gente precisa decompor ela na forma de uma matriz. Saca só, para uma forma quadrática geral, do tipo:
Decompomos como:
Logo para o nosso exemplo (I):
Portanto a matriz , representa a transformação que nossa função realiza no espaço.
E pra calcular os autovalores dessa matriz, temos que resolver o polinômio característicos:
Tal que:
Abrindo esse produto, temos:
Então se a gente resolver essa equação segundo grau, encontraremos nossos autovalores.
Passo 3
Saca só, o delta dessa equação é:
Logo, nossas soluções serão:
Como , temos que o denominador é estritamente positivo, tal que os dois autovalores sejam positivos:
Se os todos os autovalores da função são estritamente positivos, quer dizer que a função assume apenas valores positivos:
Fazendo que seja impossível termos que:
Logo, afirmativa (I) é falsa.
Passo 4
Agora na nossa afirmativa (II), temos:
Então devemos verificar dessa vez, se nossa função assume valores positivos como por exemplo . E pra isso a gente pode repetir o processo da afirmativa (I). Tal que a decomposição dessa forma quadrática é:
Passo 5
Show de boletas, e montando nosso polinômio característico, temos que:
Abrindo esse determinante, obtemos:
E resolvendo essa equação do segundo grau, temos que:
Só que , tal que teremos um autovalor positivo e um negativo:
Potanto, nossa função assume tanto valores negativos, quanto valores positivos como por exemplo , logo, nossa afirmativa (II) é verdadeira. Resposta certa, letra (d).
Resposta
Letra (d).