Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

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Enunciado

Abaixo é dado um paralelepípedo de concreto submetido aos carregamentos mostrados na figura. Sabendo que E =   34,2   G P a , ϑ = 0,21 de termine a deformação em mm de cada lado do paralelepípedo.

Passo 1

Esse problema se trata de um problema em que temos que usar a fórmula de deformação nos eixos. A fórmula que temos que usar é a fórmula da lei generalizada de Hooke que é dada por

ε x = 1 E (   σ x - ϑ σ y - ϑ σ z )

ε y = 1 E (   σ y - ϑ σ x - ϑ σ z )

ε z = 1 E (   σ z - ϑ σ y - ϑ σ x )

Outro cuidado que temos que tomar é que essas fórmulas dão a deformação especifica em cada eixo, e o enunciado pede a de formação total, ou seja, precisaremos saber que a relação entre deformação especifica e total é dada por

ε = δ L

Como o objetivo é determinar a deformação total podemos escrever essa fórmula como

δ = ε L

Agora que já definimos quais fórmulas usar, devemos determinar cada parte da fórmula.

Passo 2

Vamos primeiro determinar as tensões em cada um dos eixos. Sabemos que a fórmula que nos dá as tensões em cada eixo é

σ = N A

Vale prestar atenção que todas as cargas aplicadas na nossa peça são cargas de compressão, logo todos os normais devem possuir sinal de menos. Com isso teremos que

N x =   - 10   K N

N y =   - 50   K N

N z =   - 20   K N

Também precisamos determinar as áreas relativas a cada um dos normais.

A x =   20   x   5 = 100   c m 2

A y =   10   x   20 = 200   c m 2  

A z =   10   x   5 = 50   c m 2

Agora é fácil determinar o valor das tensões em cada face do nosso paralelepípedo

σ x = N x A x = - 10 100 = - 0,10 K N c m 2  

σ y =   N y A y = - 50 200 = - 0,25 K N c m 2    

σ z =   N z A z = - 20 50 = - 0,40 K N c m 2      

Passo 3

Já com as tensões em mãos basta determinar as deformações especificas, tomando, é claro, cuidado com os sinais que determinamos, logo teremos que

ε x = 1 E (   σ x - ϑ σ y - ϑ σ z )

ε y = 1 E (   σ y - ϑ σ x - ϑ σ z )

ε z = 1 E (   σ z - ϑ σ y - ϑ σ x )

Em que

E = 34,2   G P a = 34,2   K N m m 2 = 34,2   x   10 2 K N c m 2

ϑ = 0,21

σ x = - 0,10 K N c m 2  

σ y = - 0,25 K N c m 2    

σ z = - 0,40 K N c m 2      

Substituindo teremos que

ε x = 1 3420   - 0,10 - 0,21 - 0,25 - 0,21 - 0,40 = 1,07   .   10 - 5

ε y = 1 3420   - 0,25 - 0,21 - 0,10 - 0,21 - 0,40 = - 4,24   . 10 - 5

ε z = 1 3420 - 0,40 - 0,21 - 0,10 - 0,21 - 0,25 = - 9,55   .   10 - 5

Passo 4

Como eu disse é pedido a deformação total e não especifica, ou seja, temos que usa a seguinte fórmula.

δ = ε L

Nos foi pedido também a deformação em mm, logo temos que garantir que esses comprimentos estarão corretor também, logo teremos que.

L x = 10 c m = 100 m m  

L y = 5   c m = 50 m m    

L z = 20 c m = 200 m m      

ε x = 1,07   .   10 - 5

ε y = - 4,24   . 10 - 5

ε z = - 9,55   .   10 - 5

Substituindo teremos que

δ x = 1,07   .   10 - 5   .   100 = 1,07   .   10 - 3 m m

δ y = - 4,24   . 10 - 5 .   50 = - 2,12   .   10 - 3 m m

δ z = - 9,55   .   10 - 5 .   200 = - 0,0191   m m

Com isso podemos deduzir que os eixos y e z sofreram compressão enquanto que o eixo x sofrerá uma expansão, mesmo atuando no eixo x uma carga de compressão.

Isso ocorre pois as deformações nos eixos y e z são maiores que as deformações de compressão em x, obrigando, nesse caso, o eixo x expandir.

Resposta

δ x = 1,07   .   10 - 3 m m

δ y = - 2,12   .   10 - 3 m m

δ z = - 0,0191   m m

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