Uma pequena esfera de acrílico de diâmetro afundou no oceano até um ponto com uma pressão de . Sabendo que o acrílico tem um módulo de elasticidade e um Coeficiente de Poisson , determine a variação no diâmetro dessa esfera.
Passo 1
A esfera tem um diâmetro inicial , um módulo de elasticidade e um Coeficiente de Poisson .
O exercício quer saber a variação no diâmetro que a esfera sofre ao estar submetida a uma pressão .
Então vamos pensar...
Quando alguma peça está submergida na água (ou qualquer outro fluído), a água faz pressão na peça por todos os lados.
Isso quer dizer que se a peça está em um ponto em que a pressão é , a peça está submetida a uma pressão de no seu eixo , no seu eixo e no seu eixo .
(O nome disso é pressão hidrostática.)
Agora pensa só...
Pressão é força sobre área que nem tensão é força interna sobre área.
Então se uma força de compressão gera numa peça uma força interna normal , uma pressão de compressão gera uma tensão normal .
Então como reação interna à pressão de nas dimensões, vão surgir na peça tensões normais nos eixos , e , todas iguais ao oposto da pressão de compressão:
Isso quer dizer que a esfera está em uma situação de carregamento multiaxial em que todas as três tensões são igual a .
Como consequência de um carregamento multiaxial, uma peça sofre deformações em , e , de acordo com as fórmulas:
Mas no nosso caso, se substituirmos nessas deformações, vamos encontrar que todas elas são iguais:
Normalmente, o é tirado em evidência...
...e essa equação é arrumada para ficar assim:
Então podemos descobrir a deformação sofrida pela esfera usando a fórmula acima...
E como o diâmetro é uma medida que existe nos três eixos em uma esfera, podemos definir todas as deformações assim:
E, em seguida, podemos usar essa definição para encontrar a variação do diâmetro da esfera, resolvendo assim o exercício!
Passo 2
Então primeiro, vamos encontrar a deformação na esfera.
Usando a fórmula que encontramos para descrever a deformação numa peça em função da pressão a qual ela está submetida em todas as direções, temos:
Subsituindo , e , temos:
Para que o resultado da deformação saia adimensional, reescrevemos o módulo de elasticidade de como :
Calculando tudo, encontramos:
Passo 3
Agora que encontramos a deformação na esfera, podemos defini-la em função da variação do diâmetro e do diâmetro inicial da esfera para encontrarmos :
Substituíndo , temos:
Isolando :
E, finalmente, substituindo :
O que dá: