Uma força de tração de é aplicada a um corpo de prova feito de placa de aço plana de (, ). Determine a variação resultante no comprimento de referência de , na largura da parte do corpo de prova, na espessura da parte e na área da seção transversal da parte .
Passo 1
A região do corpo de prova possui, originalmente, um comprimento , uma largura e uma espessura .
O material do corpo de prova possui um módulo de elasticidade e um Coeficiente de Poisson .
Além disso, a força interna normal no corpo de prova é , uma vez que ele está submetido a uma força de tração pura com essa intensidade.
E o que é que o exercício quer?
Por causa da tração, a região é esticada, sofrendo variações no seu comprimento, na sua largura, na sua espessura, e, consequentemente, na sua área de seção transversal.
O exercício quer saber o valor dessas variações.
No item , para encontrar a variação do comprimento, vamos ter que usar a Lei de Hooke e as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.
Nos itens e , para encontrar as variações da largura e da espessura, vamos ter que analisar a deformação lateral na peça.
(Vamos precisar das definições de deformação longitudinal e lateral e das definições do coeficiente de Poisson .)
Finalmente, no item , vamos encontrar a variação da área da seção transversal calculando a diferença entre a área final e a área inicial.
Passo 2
Temos várias informações sobre a peça e sobre o carregamento nela e queremos saber, no item , qual é o valor da variação de comprimento sofrida pela região do corpo de prova.
Normalmente, chamamos essa variação de comprimento principal de .
Agora, lembra aí...
Existe uma fórmula que descreve a variação de comprimento numa peça em função do carregamento nela:
E a fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke com as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.
Nessa fórmula, sabemos o valor de , e , mas não sabemos o valor da área da seção transversal da região .
Mas sabemos que essa região tem uma seção transversal retangular, de espessura e largura . Logo:
Sendo assim, a variação de comprimento fica assim:
Pronto, agora podemos calcular o valor da variação de comprimento !
Substituindo os valores de , , , e , temos:
Reescrevendo como e reescrevendo a força de como :
Agora, as unidades e vão se cortar, e o resultado final vai sair em .
Calculando tudo, temos que:
Passo 3
Agora, seguimos para os itens e .
Nesses itens queremos encontrar a variação de largura e a variação de espessura na parte do corpo de prova.
Essas duas variações ocorrem por causa da deformação lateral que acompanha toda deformação longitudinal num corpo.
A deformação longitudinal é aquela que ocorre no sentido do comprimento do corpo. É a variação de comprimento sobre o comprimento inicial:
E a deformação lateral é a que ocorre no sentido lateral. É a variação de uma medida da seção transversal da peça (como a largura ou a espessura) sobre a medida inicial:
E essas duas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:
O que significa que:
E, como :
Substituindo e isolando , encontramos:
E, alternativamente, substituindo e isolando , temos:
Pronto, encontramos as expressões que vão nos dar os valores de e !
Substituindo os valores de , , , e nessas duas expressões, temos:
Calculando tudo, encontramos:
Passo 4
Por último, resolvemos o item , onde queremos encontrar a variação de área de seção transversal na parte do corpo de prova.
A variação de qualquer medida é igual ao seu valor final menos o seu valor inicial.
Então sendo o valor final da área da seção transversal, temos que:
A seção transversal é retangular, de espessura e largura , de tal forma que .
A seção transversal final também vai ser retangular, de espessura final e largura final , de tal forma que .
Ou seja:
Agora, a espessura e a largura final vão ser iguais aos seus valores iniciais mais as suas variações:
Substituindo isso na expressão anterior, temos:
Substituindo os valores de , , e , todos em milímetros:
Calculando tudo:
E assim finalizamos o exercício: