Demonstre que dados dois inteiros e , o produto é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, ou , for par.
Passo 1
Olááá pessoa dedicada! Hahahaha tudo bem?
Bom, aqui precisamos demonstrar essa afirmação! Mas qual método utilizaremos?
Cara, normalmente eu diria pra você seguir o seu coração, entretanto, tem um “se e somente se” ali, então vamos usar esse método, ok?
Nesse tipo de demonstração, precisamos provar a ida e a volta. Provaremos então:
Vamos começar do ínicio, provando . Da hipótese podemos escrever:
Podemos escrever , onde e são inteiros:
Ou seja, podemos ter que ou ou . Além disso, podemos ter que , isto é, ele pode ser par! Então teríamos:
E isso poderia ser . Não é uma regra, é apenas uma possibilidade.
Portanto, um deles deveria ser par.
Passo 2
Agora vamos provar o . Da hipótese podemos escrever que:
Bom, agora vamos ver cada caso.
Caso é par e não:
Chamando :
Ou seja, é par.
Caso é par e não:
Chamando :
Ou seja, é par.
Caso é par e é par:
Chamando :
Ou seja, é par.
Portanto, as duas proposições são verdadeiras, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração pelo método de se e somente se.