Exercícios Resolvidos de Demonstrações

Ver Teoria

Enunciado

Demonstre que dados dois inteiros a e b , o produto a b é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, a ou b , for par.

Passo 1

Olááá pessoa dedicada! Hahahaha tudo bem?

Bom, aqui precisamos demonstrar essa afirmação! Mas qual método utilizaremos?

Cara, normalmente eu diria pra você seguir o seu coração, entretanto, tem um “se e somente se” ali, então vamos usar esse método, ok?

D a d o s   d o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   o   p r o d u t o   a b   é   u m   n ú m e r o   p a r ,  

s e   e   s o m e n t e   s e ,   p e l o   m e n o s   u m   d o s   n ú m e r o s   i n t e i r o s ,   a   o u   b ,   f o r   p a r

Nesse tipo de demonstração, precisamos provar a ida e a volta. Provaremos então:

  1. D a d o s   d o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   s e   o   p r o d u t o   a b   é   p a r ,   e n t ã o   p e l o   m e n o s   u m   d e l e s   é   p a r
  2. D a d o s   d o i s   i n t e i r o s   a   e   b ,   s e   p e l o   m e n o s   u m   d e l e s   é   p a r ,   e n t ã o   o   p r o d u t o   é   p a r

Vamos começar do ínicio, provando 1 . Da hipótese podemos escrever:

a b = 2 k

Podemos escrever k = k 1 k 2 , onde k 1 e k 2 são inteiros:

a b = ( 2 k 1 ) k 2

Ou seja, podemos ter que ou a = 2 k 1   e   b = k 2 ou a = k 2   e   b = 2 k 1 . Além disso, podemos ter que k 2 = 2 k 3 , isto é, ele pode ser par! Então teríamos:

a b = 2 k 1 2 k 3

E isso poderia ser a = 2 k 1   e   b = 2 k 3 . Não é uma regra, é apenas uma possibilidade.

Portanto, um deles deveria ser par.

Passo 2

Agora vamos provar o 2 . Da hipótese podemos escrever que:

b = 2 k ,     c a s o   a p e n a s   b   s e j a   p a r

a = 2 k ,     c a s o   a p e n a s   a   s e j a   p a r

b = 2 k   e   a = 2 p ,     c a s o   a   e   b   s e j a m   p a r e s

Bom, agora vamos ver cada caso.

Caso b é par e a não:

a . b = a . 2 k

Chamando a k = k 1 :

a b = 2 k 1

Ou seja, é par.

Caso a é par e b não:

a . b = 2 k . b

Chamando b k = k 2 :

a b = 2 k 2

Ou seja, é par.

Caso b é par e a é par:

a . b = 2 p . 2 k

Chamando 2 p k = k 3 :

a b = 2 k 3

Ou seja, é par.

Portanto, as duas proposições são verdadeiras, como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração pelo método de se e somente se.