Mostre que um número inteiro de dígitos é divisível por se a soma dos seus dígitos for divisível por .
Passo 1
Meu amooooor, esse tipo de questão é muito interessante e pode cair na sua prova, por exemplo, falando sobre a regrinha dos números divisíveis por , sei lá. Então, pega a visão!
Para começar, um número inteiro de dígitos pode ser representado da seguinte forma:
Concorda comigo? Eu não sei quais são os dígitos, então coloco uma letra ao lado da outra.
Bom, para ser divisível por , é necessário que eu consiga escrever esse número da seguinte forma:
Onde é um número inteiro. LEMBRE-SE: NÃO é uma multiplicação dessas letras, mas sim um nome!
Passo 2
Vamos lá, finalmente colocar a mão na massa. Concorda comigo que podemos escrever:
É assim que escreveremos nosso número:
Agora olha o truque!!!
Cara, a gente já tem uma parcela de que é divisível por . Porém, aquela parte:
A gente não sabe se é. Se ela for, significa que:
E chamando :
E finalmente:
PORÉM, se NÃO puder ser escrito como , ou seja, se a soma dos algarismos não for divisível por , então o número não é divisível por .
Logo, a ÚNICA forma de ser divisível por é se a soma dos algarismos também for, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração pelo método direto.