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Exercícios Resolvidos de Demonstrações

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Exercício 9123456781011

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1 - Listas de Cálculo 1, Questão 4.8

Se f x = e x   as funções

  c o s h ( x ) = 1 2 [ f x + f - x ] e s i n h ( x ) = 1 2 [ f x - f - x ]

são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:

[ cosh ⁡ x ] 2 - [ sinh ⁡ x ] 2 = 1

1 - [ ta nh ⁡ x ] 2 = [ cos c h ⁡ x ] 2

em que tagh e cosh são, respectivamente, as funções tangente e cossecante hiperbólicas.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que mostrar as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:

[ cosh ⁡ x ] 2 - [ sinh ⁡ x ] 2 = 1

1 - [ tanh ⁡ x ] 2 = [ cosch ⁡ x ] 2

Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos mostrar a relação

[ cosh ⁡ x ] 2 - [ sinh ⁡ x ] 2 = 1

Então, vamos calcular [ cosh ⁡ x ] 2 e [ sin h ⁡ x ] 2 :

[ cosh ⁡ x ] 2 = [ 1 2 ( e x + e - x ) ] 2 = 1 4 [ e 2 x + e - 2 x + 2 ]

[ sin h ⁡ x ] 2 = [ 1 2 ( e x - e - x ) ] 2 = 1 4 [ e 2 x + e - 2 x - 2 ]

Substituindo,

[ cosh ⁡ x ] 2 - [ sinh ⁡ x ] 2 = 1 4 e 2 x + e - 2 x + 2 - 1 4 e 2 x + e - 2 x - 2 = 1 4 4 = 1

Assim, provamos a primeira relação.

Passo 3

Agora vamos mostrar a relação

1 - [ tanh ⁡ x ] 2 = [ cosch ⁡ x ] 2

Então,

1 - [ ⁡ s i n h x cosh ⁡ x ] 2 = 1 - [ sinh ⁡ x ] 2 [ cos h ⁡ x ] 2 = [ cos h ⁡ x ] 2 - [ sinh ⁡ x ] 2 [ cos h ⁡ x ] 2

Lembrando da relação que acabamos de mostrar [ cosh ⁡ x ] 2 - [ sinh ⁡ x ] 2 = 1 , temos

1 - [ ⁡ t a n ⁡ ( x ) ] 2 = 1 [ cosh ⁡ x ] 2 = [ c o s c h x ] 2

1 - [ ⁡ t a n ⁡ ( x ) ] 2 = [ c o s c h x ] 2

Assim, provamos a segunda relação.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da resolução.