Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição:
Se e são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois deve ser par.
Se e são números reais tais que o produto é um número irracional, então ou ou deve ser um número irracional.
Passo 1
Oiiiii aluno mais engajado do mundo! Bora demonstrar essas afirmações pelo método de contraposição. Você lembra como é?
É assim, você se depara com uma proposição da forma:
E o que provaremos é algo que é equivalente a ela, ou seja:
Bora ver o primeiro item:
A contrapositiva dessa proposição é:
Lembrando que a negação de “pelo menos um dos dois deve ser par” é “nenhum dos dois é par”, ou seja, “os dois são ímpares”.
Então vamos lá, a nossa hipótese é que e são inteiros ímpares, isto é, podemos escrevê-los da forma:
Onde e números são inteiros.
Passo 2
Queremos mostrar que o produto é ímpar, então vamos multiplicar essas duas equações ok?
Realizando as operações:
Chamando :
Onde é um número inteiro.
Portanto, o produto é um número ímpar, como queríamos demonstrar.
Passo 3
Se liga nessa próxima:
Como fica a contrapositiva dessa proposição? Dá uma olhada:
Bom, da hipótese podemos escrever que:
Onde e são números inteiros, tais que e
Queremos que o produto seja racional, então vamos multiplicar essas duas equações:
Como são números inteiros, chamaremos e , onde ambos são inteiros:
Portanto, o produto é racional, como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração pelo método de contraposição.