Exercícios Resolvidos de Escoamento sobre uma Esfera

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Enunciado

Uma junta de termopar é inserida em um grande duto para medir a temperatura de gases quentes que escoam através do duto

a Se a temperatura da superfície do duto T s for menor do que a temperatura do gás T g , o termopar irá medir uma temperatura menor, igual ou maior que a temperatura T g ? Justifique a sua resposta com base em uma análise simplificada.

b Uma junta de termopar, na forma de uma esfera com 2   m m de diâmetro e com emissividade superficial de 0,60 , é colocada em uma corrente de gás que escoa a 3   m / s . Se o termopar mede uma temperatura de 320 ° C quando a temperatura superficial do duto é de 175 ° C , qual é a temperatura real do gás?

Pode-se considerar que o gás possua as propriedades do ar à pressão atmosférica.

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar as propriedades do gás. Pra isso, vamos usar como como referência uma temperatura estimada em 650   K (sim, é um chute mesmo). Assim, de acordo com a tabela A.4 do Incropera para o ar:

υ = 60,21 × 10 - 6   m 2 / s

k = 0,0497   W / ( m . K )

P r = 0,69

μ = 322,5 × 10 - 7   N . s / m 2

Para a temperatura da superfície do termopar T t = 320 ° C = 593   K , temos que:

μ s = 304 × 10 - 7   N . s / m 2

Beleza, agora podemos seguir adiante.

Passo 2

a Se a temperatura da superfície do duto T s for menor do que a temperatura do gás T g , o termopar irá medir uma temperatura menor, igual ou maior que a temperatura T g ? Justifique a sua resposta com base em uma análise simplificada.

Bom, a taxa de transferência de calor por convecção do gás para o termopar deve ser igual à taxa de transferência de calor por radiação entre o termopar e a superfície do duto. Assim, podemos escrever que:

q c o n v = q r a d

h - . A . T g - T t = ε . σ . A . T t 4 - T s 4

T g - T t = ε . σ h - . T t 4 - T s 4

Se analisarmos a equação acima vemos que, se a temperatura do duto for menor que a temperatura do termopar T s < T t , a temperatura do termopar deverá ser menor que a temperatura do gás T t < T g .

Passo 3

b Uma junta de termopar, na forma de uma esfera com 2   m m de diâmetro e com emissividade superficial de 0,60 , é colocada em uma corrente de gás que escoa a 3   m / s . Se o termopar mede uma temperatura de 320 ° C quando a temperatura superficial do duto é de 175 ° C , qual é a temperatura real do gás?

Opa! Podemos usar justamente a equação que encontramos no Passo 2 para calcular a temperatura do gás!

T g - T t = ε . σ h - . T t 4 - T s 4

T g = T t + ε . σ h - . T t 4 - T s 4

Dessa equação, nós temos quase tudo, com exceção do coeficiente convectivo médio. Então vamos atrás dele.

Passo 4

Pra calcular o coeficiente convectivo, precisamos calcular o número de Nusselt, dado por:

N u - D = 2 + 0,4 . R e D 1 / 2 + 0,06 . R e D 2 / 3 . P r 0,4 . μ μ s 1 / 4

Onde:

R e D = V D υ = 3 × 0,02 60,21 × 10 - 6 → R e D = 100

Substituindo os valores:

N u - D = 2 + 0,4 × 100 1 / 2 + 0,06 × 100 2 / 3 × 0,69 0,4 × 322,5 304 1 / 4

N u - D = 6,56

Passo 5

O coeficiente convectivo médio será dado por:

h - = N u - D . k D

Substituindo os valores:

h - = 6,56 × 0,0 497 0,00 2 → h - = 163   W / ( m 2 . K )

Passo 6

Agora podemos finalmente calcular a temperatura do gás, se liga:

T g = T t + ε . σ h - . T t 4 - T s 4

Substituindo os valores:

T g = 320 + 0,6 × 5,67 × 10 - 8 163 × 320 + 273 4 - 175 + 273 4

Resposta

a A temperatura do termopar deverá ser menor que a temperatura do gás T t < T g .

b T g = 337,4 ° C

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