O parafuso está preso a seu suporte em . Se a força de for aplicada à chave para apertá-lo, determine as tensões normais e de cisalhamento no ponto . Além disso, represente os resultados sobre um elemento localizado nesse ponto. A haste tem diâmetro de .

Então vamos começar fazendo uma análise dos esforços internos na seção onde se encontra o ponto .

Para tanto, podemos representar as peças de uma forma simplificada e fazer uma seção na região desse ponto:

Feito isso, devemos identificar quais vão ser os esforços internos que vão surgir nessa seção.

Então lembra aí!

Os possíveis esforços internos são:

• Força normal ;
• Força cortante ;
• Momento fletor (ou );
• E torque interno (ou momento torsor ).

Desenhando esses esforços internos na nossa seção, o desenho acima fica assim:

Lembrando que dependendo da convenção dos seus professores, o torque interno pode ser desenhado também entrando para dentro das peças.

Agora, precisamos calcular os valores desses esforços internos , , e .

Para tanto, podemos aplicar condições de equilíbrio para toda a parte direita das peças:

Primeiro, aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

A única força na horizontal é a força normal , então temos que:

Ou seja, não há força normal nesse seção.

Em seguida, aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

Na vertical, temos a cortante para cima e a força de para baixo.

Dessa forma, esse somatório acima fica assim:

O que significa que:

Já para determinar o valor do momento fletor , precisamos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :

Em relação a esse ponto, nós vamos ter um momento no sentido horário () causado pela força de com um braço de e o momento também no sentido horário ().

Dessa forma, esse somatório de momentos acima fica assim:

O que significa que:

O que dá:

Por fim, para determinar o valor do torque interno , precisamos fazer um equilíbrio de torques:

Em relação ao eixo principal do parafuso, nós vamos ter um torque no sentido horário () causado pela força de com um braço de , além do próprio torque interno , também no sentido horário ().

Então o nosso somatório de torques fica assim:

O que significa que:

Agora que conhecemos os esforços internos na seção do ponto :

...podemos calcular as tensões causadas por esses esforços internos.

Nesse passo, vamos começar analisando a tensão de cisalhamento causada pela força cortante .

Lembra aí!

Ela é dada pela fórmula do cisalhamento:

Onde:

• é o momento estático para a fibra em que se quer calcular a tensão ;
• é o momento de inércia da área da seção transversal;
• & é a espessura da fibra em que se quer calcular a tensão .

Aí, se a gente olhar para o nosso ponto , vamos perceber uma coisa:

Que é: esse nosso ponto está no topo da seção!

E lá quando estudamos a fórmula do cisalhamento, vimos que o momento estático das fibras no topo e na base de uma seção é nulo.

Consequentemente, a tensão de cisalhamento devido à força cortante nos pontos dessas fibras é nula.

Ou seja:

A força cortante não vai causar nenhuma tensão no nosso ponto .

Em seguida, vamos ver como é a tensão causada pelo momento fletor no nosso ponto .

Lá quando estudamos flexão, vimos que a tensão normal causada por um momento fletor é dada pela fórmula da flexão:

Onde:

• é a posição do ponto em que se quer saber a tensão em relação à linha neutra;
• & é o momento de inércia da área da seção transversal.

No caso da nossa seção circular, temos que a linha neutra passa bem no meio dela:

Aí, da imagem acima, vemos como a posição do nosso ponto é:

Além disso, para uma seção circular, o momento de inércia da área é dado pela fórmula:

Onde é o raio da seção e é igual à metade do diâmetro dela (), de tal forma que:

Sabendo de tudo isso, já podemos aplicar a fórmula da flexão para o nosso ponto :

Aí, substituindo:

• ;
• & ,

Temos que:

Simplificando, isso dá:

Finalmente, substituindo os valores:

• ;
• & ,

Encontramos que:

Calculando tudo isso, vamos ter um resultado em que vai dar:

Mas é o mesmo que , o que significa que:

E o que é que esse resultado significa?

Ele significa que o nosso ponto está sendo tracionado lateralmente por uma tensão normal de :

Por fim, podemos ver como será a tensão causada pelo torque interno .

Pelo que vimos lá em torção, sabemos que esse torque interno vai gerar na seção tensões de cisalhamento de acordo com a fórmula da torção:

Onde:

• é a distância do centro da seção até o ponto em que se quer saber a tensão ;
• & é o momento de inércia polar da seção e é dado pela fórmula:

...para uma seção circular de raio .

No nosso caso, vamos usar , uma vez que o raio é a metade do diâmetro, de tal forma que:

Aí, para o nosso ponto , a distância dele ao centro é igual ao raio da seção:

Assim, já podemos aplicar a fórmula da torção para o nosso ponto :

Substituindo:

• ;
• & ,

Temos:

Simplificando, temos:

Finalmente, substituindo os valores:

• ;
• & ,

Encontramos que:

Calculando tudo, e vendo que o resultando dessa equação vai sair em , que é o mesmo que , obtemos que:

Estamos quase terminando o exercício, mas ainda temos um último desafio que é saber em que sentido atua essa tensão de cisalhamento que acabamos de encontrar.

Isso porque:

• Enquanto que a fórmula da flexão é “inteligente” (ela consegue através do seu sinal de positivo ou negativo indicar se é uma tensão de tração ou compressão),
• A fórmula da torção não é “inteligente”.

Então nós temos que olhar pros desenhos que fizemos para entender qual é o sentido da tensão .

Podemos, por exemplo, olhar pro lado esquerdo do desenho que fizemos lá no começo do exercício:

Nesse desenho, a seta dupla corresponde ao torque.

Visualizando esse torque na nossa peça com o auxílio da regra da mão direita, ele fica assim:

O que significa que caso ele fosse positivo, ele geraria uma tensão que apontaria para baixo no lado direito do ponto :

Mas na realidade, o torque interno e a tensão que encontramos tem valores negativos.

Isso significa que a tensão cisalhante de intensidade no nosso ponto vai na realidade estar apontando para cima no lado direito do ponto :

Por fim, para equilibrar esse elemento , devemos adicionar três outras tensões de cisalhamento com a mesma intensidade nos demais lados do elemento:

E pronto!

Esse desenho acima é o nosso estado plano de tensões para o ponto e completa nossa resposta para o exercício.

Além disso, na hora de destacar os valores das tensões no ponto para a resposta do exercício, podemos fornecer os valores de acordo com o caso geral do estado plano de tensões:

Comparando essa imagem com o nosso desenho acima, vemos que para o ponto :