Considere um cilindro de madeira () de 1 m de diâmetro e 0,8 m de comprimento. Esse cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo ()?
Passo 1
Fala aí! Vou traduzir o que esse exercício está perguntando: “Será que se colocarmos esse cilindro em pé no óleo ele fica estável?”
Para responder essa pergunta precisamos calcular GM e verificar se esse valor é maior que zero. Se for, a resposta vai ser sim! É estável. Se for GM for menor que zero, o equilíbrio vai ser instável e qualquer perturbação vai fazer esse cilindro virar.
A equação que vamos usar é:
Precisamos encontrar , e para calcular , que é quem queremos conhecer!
Começando pelo , vamos considerar que o material do cilindro é uniforme. Com isso, o centro de gravidade fica na metade da altura do cilindro.
Como o cilindro está em pé, a altura é o comprimento:
Passo 2
E onde seria aplicado o empuxo? Quem é ?
O empuxo é aplicado na metade do volume submerso. Mas não sabemos quanto do cilindro está submerso no óleo. Sabemos que há um equilíbrio de forças, então:
Lembrando as fórmulas da força Peso e do Empuxo:
Cancelando a gravidade:
O volume do cilindro é
Por outro lado, o volume submerso é:
Substituindo:
Logo, a altura do cilindro que está submersa é:
Lembrando que o ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:
Substituindo o valor que encontramos para
Passo 3
Finalmente, vamos calcular o ! A fórmula é:
O momento de inércia do cilindro em pé é o momento de inércia do círculo (porque essa é a região que a oléo toca o cilindro)
Como o diâmetro é 1 m, o raio é 0,5 m. Substituindo:
Com isso, para encontrar BM:
O valor de foi encontrado.
Passo 4
Finalmente, temos todos os valores necessários para calcular !
Opaaa! Encontramos e o valor é maior que zero! O que isso significa?
GM > 0 significa que o equilíbrio é estável! Portanto, a resposta é sim! O cilindro colocado na posição vertical no óleo encontra-se estável, pois GM > 0.
Resposta
Sim! O cilindro seria estável nas condições pedidas.