A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Passo 1
O que está acontecendo?
Nesse exercício, temos um elemento 3D de tensões com uma tensão de cisalhamento:
...no plano , além de tensões normais em cada eixo:
Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento ou envolvendo o eixo , podemos concluir que esse eixo já está livre de cisalhamento.
Isso significa que a tensão no eixo já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente determine as tensões principais , e para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta para ele:
Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de que ocorre no eixo , livre de cisalhamento.
Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo e focar no que resta, que é o plano :
Calculando a tensão normal média para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:
Aí, com essas duas tensões principais do plano , mais a tensão principal do eixo , vamos conseguir:
- Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
- Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais , e ;
- E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, .
Passo 2
Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano .
Lembra aí!
Para fazer isso, precisamos calcular para esse plano:
Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto em um gráfico e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:
Passo 3
Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos usar o teorema de Pitágoras para determinarmos o valor do seu raio :
Fazendo isso, teremos que:
O que significa que:
E aí, podemos fazer que:
E substituir e para encontrarmos as tensões principais desse plano :
Daí que, calculando essa equação acima, encontramos que uma das tensões principais desse plano é de e que a outra é de .
Isso significa que o nosso elemento 3D, além da tensão principal de que já tinhamos identificado, ainda tem uma tensão principal de e outra de .
Passo 4
Agora que sabemos as 3 tensões principais do nosso elemento 3D, podemos complementar o círculo de Mohr que fizemos para o plano com elas.
Fazendo isso, vamos obter os três círculos de Mohr para o nosso elemento 3D e ao mesmo tempo identificar qual tensão principal é qual (, ou ):
Passo 5
Por fim, podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse elemento fazendo:
Aí, substituindo e , vamos ter:
E pronto!
Está resolvido o exercício.