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Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Exercício 12345678910111213

Enunciado

Determinar a transformação linear T : P 2 → P 2 tal que T 1 = x , T x = 1 - x 2 e T x 2 = x + 2 x 2 .

Passo 1

Bom, temos como base de P 2 :

ϕ = 1 , x , x 2

Que claramente é L I e, além disso, é base canônica de P 2

Então, vamos fazer uma C L de um polinômio genérico com a base ϕ = 1 , x , x 2 do P 2 .

γ x 2 + β x + α 1 = a 1 + b x + c ( x 2 )

Aplicando T dos dois lados:

T α + β x + γ x 2 = T a 1 + b x + c x 2

Devido à T ser linear, podemos reescrever a equação como:

T α + β x + γ x 2 = a T 1 + b T x + c T x 2       ( I )

Passo 2

Agora vamos aplicar as informações do nosso enunciado!

T 1 = x

T x = 1 - x 2

T x 2 = x + 2 x 2

Substituindo em I :

T α + β x + γ x 2 = a x + b 1 - x 2 + c x + 2 x 2     ( I I )

Passo 3

Ainda falta achar quem são a , b , c em função de α , β , γ .

α + β x + γ x 2 = a 1 + b x + c ( x 2 )

α + β x + γ x 2 = a + b x + c x 2

α = a β = b γ = c

Passo 4

Agora que achamos os valores que queríamos para a , b , c , vamos substituir na nossa equação ( I I ) :

T α + β x + γ x 2 = α x + β 1 - x 2 + γ x + 2 x 2 ⇒

T α + β x + γ x 2 = - β x 2 + 2 γ x 2 + α x + γ x + β ⇒

T α + β x + γ x 2 = - β + 2 γ x 2 + α + γ x + β

Resposta

T α + β x + γ x 2 = - β + 2 γ x 2 + α + γ x + β