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Exercícios de Expressão Analítica de uma TL - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Determinar a transformação linear T : P 2 → P 2 tal que T 1 = x , T x = 1 - x 2 e T x 2 = x + 2 x 2 .

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Questão 2

Existe uma única transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 satisfazendo simultaneamente:

  • Para todo α ∈ R ,   T 1,0 - 1 = α T ( 1 , 0 , - 1 ) .
  • Os vetores ( 0 , 1,0 ) e ( 0,1 , - 1 ) são transformados por T no mesmo vetor de R 4 .
  • T 0 , 2 3 ,   - 2 3 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3
  • dim ⁡ N u c T = 2

Encontre a expressão de T ( x , y , z ) .

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Questão 3

Sabendo que

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Calcule T ( x , y , z ) .

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Questão 4

Encontre uma expressão analítica de uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 tal que a imagem de T seja gerada pelos vetores ( 1 , 2,0 , - 4 ) e ( 2,0 , - 1 , - 3 ) . A transformação linear encontrada é a única que satisfaz a condição dada no exercício?

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Questão 5

Seja V   um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno < ⋅   |   ⋅ >   , e seja T : V → V  

um operador linear. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se o operador T   é simétrico então a matriz T β é simétrica, para qualquer base β de V  

  2. Se existe uma base ortogonal de V   formada pelos autovetores de T   , então o operador T   é simétrico

  3. Se < T v , w >   =   < v , w > ,   para todos v   ,   w   ∈ V   , então o operador T   é simétrico

Quais afirmações são verdadeiras?

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Questão 6

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear tal que T 1 , 2,3 = 2,3 , 4 e T 1,3 , 4 = 2,4 , 5 . Pode-se afirmar que:

a   T x , y , z = 2 0 0 1 1 0 1 0 1 x y z

b   T x , y , z = x + 1 , y + 1 , z + 1

c   Existem infinitas transformações lineares assim.

d   NÃO existe tal transformação linear.

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Questão 7

Existe uma única transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 satisfazendo simultaneamente:

  • Para todo α ∈ R ,   T 1,0 - 1 = α T ( 1 , 0 , - 1 ) .
  • Os vetores ( 0 , 1,0 ) e ( 0,1 , - 1 ) são transformados por T no mesmo vetor de R 4 .
  • T 0 , 2 3 ,   - 2 3 = 2 3 ,   - 2 3 , 2 3 ,   - 2 3
  • dim ⁡ N u c T = 2

( a ) Encontre bases para o núcleo e a imagem de T , respectivamente.

( b ) Encontre a expressão de T ( x , y , z ) .

( c ) Dê um exemplo de um subespaço vetorial S de R 4 tal que dim ⁡ S + I m T = 3 . Justifique sua escolha.

( d ) Mostre que todo plano π ⊆ R 3 tal que dim ⁡ π ∩ N u c T = 1 é transformado por T em uma reta de R 4 .

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Questão 8

Se A 11 ,   3 = ( - 11 ,   - 3 ) e A 7 ,   2 = ( 7 ,   2 ) , assinale abaixo o vetor X → tal que A ( X → ) = ( 2 ,   3 )

a) ( 1 ,   3 )

b) ( 3 ,   2 )

c) ( 3 ,   1 )

d) ( 2 ,   3 )

e) Não sei

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Questão 9

b Seja T : P 1 R → P 1 R o operador linear tal que T 1 + x = 1 - x e T 1 - x = x . Determine T a 0 + a 1 x

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Questão 10

Seja T : R 3 → M 2 × 2 R uma transformação linear tal que T 1 ,   1 ,   1 = 0 2 0 1 , T 1 ,   0 ,   - 1 = 1 - 2 - 1 0 , T 0 ,   1 ,   0 = - 1 0 1 - 1 .

  1. Determine T x ,   y ,   z .
  2. T é injetora?
  3. Encontre uma base para a imagem I m ( T ) .

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Questão 11

Seja P 2 o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e T uma transformação linear de P 2 em P 2   tal que T x 2 = x 2 + x + 1 , T x + 1 = x 2 + 4 x + 4 e T x - 1 = - x 2 - 2 x - 2 :

I - T x 2 - x = x 2  

I I - T é sobrejetiva

(a) Ambas são verdadeiras

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c) I é verdadeira e I I é falsa

(d) Ambas são falsas

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Questão 12

Determine a fórmula T x , y , z da transformação linear T : R 3 → M 2 × 2 sabendo que:

T 1,0 , 1 = 1 0 0 - 1

T 0,1 , - 1 = 2 1 0 1

T 1,0 , 0 = 1 0 0 0

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Questão 13

Sejam A =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 e A t sua transposta.

Considere   T : R ³ → R ³ a transformação linear cuja matriz, na base canônica R ³ , é a matriz

T = A A t .

  1. Determine   T x , y , z
  2. Verifique que T 1 , 0 , 0 = ( 1,2 , 0 ) e que T 1,2 , 0 = 5 ( 1,2 , 0 )

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