Como Construir e Inverter Uma TL e Composição de TL's
Existe uma única transformação linear satisfazendo simultaneamente:
- Para todo .
- Os vetores e são transformados por no mesmo vetor de .
Encontre bases para o núcleo e a imagem de , respectivamente.
Encontre a expressão de .
Dê um exemplo de um subespaço vetorial de tal que . Justifique sua escolha.
Mostre que todo plano tal que é transformado por em uma reta de .
Passo 1
Letra
Vamos estudar algumas informações do enunciado. Repare que:
Assim, ou ou . Como ele está dizendo que aquela afirmação serve para TODO , não vale apenas . E se temos que , o que é mentira pois no enunciado temos que não vale somente . Portanto a conclusão que chegamos é:
Isso quer dizer que todos os múltiplos de pertencem ao núcleo, e assim, . Mas sabemos também que o núcleo tem dimensão , então precisamos saber seu outro gerador, pois já sabemos que é um dos seus geradores.
Passo 2
Outra informação que podemos tirar do enunciado também, é que:
Mas como é linear:
Passo 3
Mas também o enunciado nos diz que os vetores e são transformados por no mesmo vetor de . Então podemos concluir que:
Assim fazendo a seguinte conta:
Lembre-se sempre que nossa transformação é linear!
Pera, então o que temos ai em cima é que a imagem do vetor dá zero! Então este vetor pertence ao núcleo. Então já descobrimos nossos geradores para o núcleo, pois achamos vetores que pertencem à ele.
Logo, uma possível base para o núcleo é:
Passo 4
Ainda não acabou, temos que achar um base para a imagem também! Um jeito de achar a imagem é aplicando em cada um dos vetores da sua base do domínio, e assim se as imagens dele forem , eles formam a base da sua imagem.
Assim, vamos definir uma base para o nosso domínio, um tanto conveniente para nós.
Seja uma base para o domínio de . Então,
Como sabemos que:
Assim, como as imagens dos vetores , são iguais, e a do terceiro vetor deu zero, uma possível base para nossa imagem é:
Passo 5
Letra
Para encontrar a expressão da sua , temos que definir uma base para o domínio antes. Vamos utilizar aquela do item anterior.
Passo 6
Agora botando em função de :
Substituindo:
Passo 7
Letra
Como a imagem tem dimensão , UM POSSÍVEL jeito de formar um espaço tal que , é com sendo gerado por vetores que satisfaçam o conjunto . Assim, um possível espaço pra é:
Vale ressaltar que tem outros jeitos de achar um espaço pra .
Passo 8
Letra
O enunciado estabelece uma condição para o plano , que é . Assim, sabemos que o plano deve ser formado por vetores, já que é um plano, de modo que um deles pertença ao núcleo e o outro não pertença ao núcleo. Dessa forma, sabemos que a condição do enunciado será satisfeita.
E como a já pega todos os vetores do e os transformam numa reta no , basta então que o plano não tenha um vetor do núcleo o gerando.
Passo 9
Assim:
Seja . Então , e assim temos que:
E assim, provamos que todo plano é transformado em uma reta no .
Resposta
Base para o núcleo: ; Base para a imagem: .