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Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Exercício 12123456789101113

Enunciado

A2 T15

Determine a fórmula T x , y , z da transformação linear T : R 3 → M 2 × 2 sabendo que:

T 1,0 , 1 = 1 0 0 - 1

T 0,1 , - 1 = 2 1 0 1

T 1,0 , 0 = 1 0 0 0

Passo 1

Pela posição dos zeros dá pra ver que os vetores 1 , 0,1 ,   0,1 , - 1   e 1,0 , 0 são L I . Se não se sentir confiante testando assim pode dar uma escalonada pra garantir ;)

Temos a transformação aplicada em uma base do domínio, então podemos encontra-la!

Como 1 , 0,1 , 0,1 , - 1 , 1,0 , 0 é uma base do R 3 , qualquer vetor pode ser escrito como combinação dessa base:

x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,0 , 0

a + c = x b = y a - b = z       I I I I I I

Substituindo I I em I I I :

a - y = z

a = y + z

Substituindo em I :

y + z + c = x

c = x - y - z

Agora aplicamos T nos dois lados da nossa igualdade:

x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,0 , 0

T x , y , z = T a 1,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,0 , 0

T x , y , z = a T 1,0 , 1 + b T 0,1 , - 1 + c T 1,0 , 0

T x , y , z = a 1 0 0 - 1 + b 2 1 0 1 + c 1 0 0 0

Substituindo a ,   b   e c :

T x , y , z = y + z 1 0 0 - 1 + y 2 1 0 1 + x - y - z 1 0 0 0

T x , y , z = x + 2 y y 0 - z

Resposta

T x , y , z = x + 2 y y 0 - z