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Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Exercício 13123456789101112

Enunciado

Sejam A =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 e A t sua transposta.

Considere   T : R ³ → R ³ a transformação linear cuja matriz, na base canônica R ³ , é a matriz

T = A A t .

  1. Determine   T x , y , z
  2. Verifique que T 1 , 0 , 0 = ( 1,2 , 0 ) e que T 1,2 , 0 = 5 ( 1,2 , 0 )

Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer é determinar A t , nada muito complicado, basta colocarmos as linhas no lugar das colunas (ou vice-versa rsrs).

Fica assim:

A t = 1 2 0 0 0 1 0 0 0

Passo 2

Agora vamos calcular o valor de T . Pelo enunciado temos que   T = A A t . Substituindo:

T =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 = 1 2 0 2 4 0 0 0 1

Olhando as linhas da matriz conseguimos descobrir T x , y , z , teremos:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   2 x + 4 y ,   z )

Passo 3

Partiu item b)

Temos que: T x , y , z = ( x + 2 y ,   2 x + 4 y ,   z )

Então, T 1 , 0,0 será:

T 1,0 , 0 = ( 1 + 2.0 ,   2.1 + 4.0 ,   0 ) =   ( 1 ,   2 ,   0 ) □

Para T 1 , 2 , 0 , teremos:

T 1,2 , 0 = 1 + 4 ,   2 + 8 ,   0 = 5 ,   10 ,   0 = 5 1,2 , 0 □

Resposta

  1. T x , y , z = x + 2 y ,   2 x + 4 y ,   z

  2. T 1,0 , 0 = ( 1 + 2.0 ,   2.1 + 4.0 ,   0 ) =   ( 1 ,   2 ,   0 ) □

T 1,2 , 0 = 1 + 4 ,   2 + 8 ,   0 = 5 ,   10 ,   0 = 5 1,2 , 0 □