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Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Exercício 11123456789101213

Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 16

Seja P 2 o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e T uma transformação linear de P 2 em P 2   tal que T x 2 = x 2 + x + 1 , T x + 1 = x 2 + 4 x + 4 e T x - 1 = - x 2 - 2 x - 2 :

I - T x 2 - x = x 2  

I I - T é sobrejetiva

(a) Ambas são verdadeiras

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c) I é verdadeira e I I é falsa

(d) Ambas são falsas

Passo 1

Sendo α = { 1 , x , x 2 } a nossa base, temos:

T x 2 = x 2 + x + 1 ⟹ T 0,0 , 1 = 1,1 , 1

T x + 1 = x 2 + 4 x + 4 ⟹ T 1,1 , 0 = ( 4,4 , 1 )

T x - 1 = - x 2 - 2 x - 2 ⟹ T - 1,1 , 0 = ( - 2 , - 2 , - 1 )

E quero saber se isso é verdade:

T x 2 - x = x 2 ⟹ T 0 , - 1,1 = ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Como esses três vetores formam um conjunto L I do R 3 , vamos ter uma base do domínio com eles, e podemos escrever qualquer outro vetor com C L deles, como 0 , - 1 , 1 :

0 , - 1,1 = a 0,0 , 1 + b 1,1 , 0 + c ( - 1,1 , 0 )

A transformação desse vetor vai ser:

T 0 , - 1,1 = a T 0,0 , 1 + b T 1,1 , 0 + c T ( - 1,1 , 0 )

T 0 , - 1,1 = a 1,1 , 1 + b 4,4 , 1 + c ( - 2 , - 2 , - 1 )

Falta achar a , b e c :

  0 , - 1,1 = a 0,0 , 1 + b 1,1 , 0 + c ( - 1,1 , 0 )

0 = b - c - 1 = b + c 1 = a

Tenho que a = 1 ,   b = - 1 2 e c = - 1 2 :

T 0 , - 1,1 = 1 1,1 , 1 - 1 2 4,4 , 1 - 1 2 - 2 , - 2 , - 1

T 0 , - 1,1 = ( 0,0 , 1 )

Opa, deu exatamente o que o enunciado disse, logo essa afirmativa está correta!

Passo 3

Agora queremos saber se T   é sobrejetiva, bom, para ser sobrejetiva, a imagem da tranformação deveria ser igual ao contradomínio, porém a gente tem isso:

T 0,0 , 1 = 1,1 , 1

T 1,1 , 0 = ( 4,4 , 1 )

T - 1,1 , 0 = ( - 2 , - 2 , - 1 )

A imagem de três vetores L I   formando um conjunto   L D , isso mostra que não vamos gerar o espaço todo e por isso não vai ser sobrejetiva!

Resposta

(c)