Existe uma única transformação linear satisfazendo simultaneamente:
- Para todo .
- Os vetores e são transformados por no mesmo vetor de .
Encontre a expressão de .
Passo 1
Vamos estudar algumas informações do enunciado. Repare que:
Assim, ou ou . Como ele está dizendo que aquela afirmação serve para TODO , não vale apenas . E se não vale somente , chegamos a conclusão que:
Isso quer dizer que todos os múltiplos de pertencem ao núcleo, e assim, . Logo,
Passo 2
Outra informação que podemos tirar do enunciado também, é que:
Mas como é linear:
Passo 3
Mas o enunciado também nos diz que os vetores e são transformados por no mesmo vetor de . Então podemos concluir que:
Passo 4
Agora finalmente podemos encontrar a expressão de . Como base para o domínio, vamos utilizar os três vetores que aparecem no enunciado , e .
Como vimos nos passos a :
Logo, aplicando nos dois lados de :
Passo 5
Agora botando em função de :
Substituindo em :
Resposta