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Exercícios Resolvidos de Expressão Analítica de uma TL

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Exercício 10123456789111213

Enunciado

Seja T : R 3 → M 2 × 2 R uma transformação linear tal que T 1 ,   1 ,   1 = 0 2 0 1 , T 1 ,   0 ,   - 1 = 1 - 2 - 1 0 , T 0 ,   1 ,   0 = - 1 0 1 - 1 .

  1. Determine T x ,   y ,   z .
  2. T é injetora?
  3. Encontre uma base para a imagem I m ( T ) .

Passo 1

Letra a)

Queremos achar uma fórmula para a transformação linear do enunciado, tendo a transformação de três vetores que formam uma base do R 3 .

Então qualquer vetor do meu domínio ( x ,   y ,   z ) pode ser escrito dessa forma:

x ,   y ,   z = a 1 ,   1 ,   1 + b 1 ,   0 ,   - 1 + c ( 0 ,   1 ,   0 ) ⟺

x ,   y ,   z = ( a + b ,   a + c ,   a - b )

Podemos achar a ,   b   e c em função de x ,   y e z :

a + b = x   ( I ) a + c = y   ( I I ) a - b = z   ( I I I )

Somando a primeira equação com a terceira:

I + I I I ⟹ 2 a = x + z ⟹ a = x + z 2

Substituindo o a nas outras equações:

I I ⟹ c = y - a ⟹ c = 2 y - x - z 2

I I I ⟹ b = a - z ⟹ b = x - z 2

Passo 2

Pelas propriedades das transformações lineares, sabemos que podemos escrever as TL’s dessa forma: T α v 1 + β v 2 = α T v 1 + β T ( v 2 ) .

Ou seja, se estamos fazendo a transformação de uma combinação linear, podemos passar os coeficientes para fora e fazer a transformação de cada vetor para depois multiplicar e somar.

Tá bom, mas o que isso tem a ver com a nossa questão?

Repara que eu tenho T 1 ,   1 ,   1 ,   T 1 ,   0 ,   - 1 e T 0 ,   1 ,   0 e quero achar T x ,   y ,   z , sendo que x ,   y ,   z é uma CL desses três vetores. Posso aplicar aquela propriedade agora!!

T x ,   y ,   z = a ∙ T 1 ,   1 ,   1 + b ∙ T 1 ,   0 ,   - 1 + c ∙ T ( 0 ,   1 ,   0 )

Substituindo as transformações do enunciado e os valores de a ,   b   e c que achamos:

T x ,   y ,   z = x + z 2 ∙ 0 2 0 1 + x - z 2 ∙ 1 - 2 - 1 0 + 2 y - x - z 2 ∙ - 1 0 1 - 1

T x ,   y ,   z = 0 x + z 0 x + z 2 + x - z 2 z - x z - x 2 0 + z + x - 2 y 2 0 2 y - x - z 2 z + x - 2 y 2

T x ,   y ,   z = x - y 2 z y - x x + z - y

Ufa! Finalmente encontramos a Transformação.

Passo 3

Letra b)

Para ser injetora a dimensão do Núcleo da matriz transformação deve ser zero.

Para achar o núcleo, igualamos a transformação a zero T x ,   y ,   z = 0 . Que é o mesmo que igualar a matriz transformação a matriz nula:

x - y 2 z y - x x + z - y = 0 0 0 0

Igualando elemento por elemento:

x - y = 0 ⟹ x = y 2 z = 0 ⟹ z = 0 y - x = 0 ⟹ x = y x + z - y = 0 ⟹ x = y

Passo 4

Assim, o núcleo é formado por todos os vetores do R 3 em que x = y e z = 0 . Ou seja, N u c T = { x , x , 0 , ∀   x ∈ R } ou N u c T = s p a n { 1 ,   1 ,   0 } , assim podemos deduzir de duas formas a dimensão desse espaço:

  • Como tem 1 parâmetro, a dimensão é 1
  • Como é um espaço gerado por 1 vetor, a dimensão é 1

Concluímos então que dim ⁡ N u c T = 1   ≠ 0 , dessa forma, T não é injetora!

Passo 5

Letra c)

Para achar a base para a imagem precisamos botar os parâmetros em evidência:

x - y 2 z y - x x + z - y = x ∙ 1 0 - 1 1 + y ∙ - 1 0 1 - 1 + z ∙ 0 2 0 1

Essas 3 matrizes geram a I m T , mas conseguimos ver que a segunda matriz é a primeira vezes - 1 :

1 0 - 1 1 ∙ - 1 = - 1 0 1 - 1

Logo, as matrizes formam um conjunto LD e não podem formar uma base da I m T ! Caaalma minha gente, a saída pra esse problema é muito fácil: é só tirar a matriz que é CL da outra do conjunto!!Dessa forma ficamos com um conjunto LI, que vai ser a nossa base!

Então, tirando a segunda matriz temos que a base da I m T é 1 0 - 1 1 , 0 2 0 1 .

OBS: As imagens da base do domínio dadas no enunciado também poderiam ser usadas como conjunto gerador!

Resposta

  1. T x ,   y ,   z = x - y 2 z y - x x + z - y
  2. T não é injetora
  3. 1 0 - 1 1 , 0 2 0 1