UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - 2021.2 - UFRJ - Lista 1 - Continuidade e TVI, Questão 9
Nos modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração da gravidade g na superfície da terra é constante igual a . Na verdade, g é função da latitude que, medida em graus, é dada pela seguinte fórmula:
Mostre que existe um tal que .
Passo 1
Oieeee vem comigoo
Nos modelos simplificados de queda livre, muitas vezes assume-se que a aceleração da gravidade (g) é constante e igual a 9,8 m/s².
Essa suposição é uma aproximação aceitável para muitas situações do mundo real, especialmente quando a altura não varia significativamente em relação ao raio da Terra.
No entanto, a aceleração da gravidade varia na superfície da Terra devido a fatores como a forma elipsoidal da Terra e as variações na densidade da crosta terrestre.
A fórmula que você forneceu, leva em consideração a latitude como um fator que influencia a variação da aceleração da gravidade na superfície da Terra.
Passo 2
Essa fórmula é uma representação mais precisa da distribuição real da gravidade ao redor da Terra, levando em conta sua forma e densidade não uniforme.
A demonstração de que existe um valor para o qual pode ser feita usando o teorema do valor intermediário, como mencionado na resposta anterior.
A ideia básica é que a função tem valores de sinais opostos em , e, portanto, deve haver um valor de entre esses dois ângulos para o qual .
Isso implica que a aceleração da gravidade calculada pela fórmula é igual a para esse valor de .
Em resumo, a suposição de uma aceleração constante da gravidade é uma simplificação útil para muitas situações do mundo real, mas a fórmula leva em consideração a variação real da gravidade devido à forma e densidade da Terra.
A demonstração da existência de um para o qual envolve a aplicação do teorema do valor intermediário em função da latitude.
Passo 3
Para mostrar que existe um valor de para o qual , precisamos encontrar um intervalo onde a função assume esse valor. A função é dada por:
Vamos definir uma função h(θ) da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar um valor no intervalo para o qual , ou seja, onde a aceleração da gravidade calculada pela fórmula seja igual a
Passo 4
Agora vamos usar o teorema do valor intermediário (ou teorema de Bolzano) para mostrar que tem um zero no intervalo
O teorema do valor intermediário estabelece que se uma função contínua em um intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos em seus extremos, então ela possui pelo menos uma raiz no intervalo
Neste caso, nossa função h(θ) é contínua, e queremos mostrar que é negativo e é positivo (ou vice-versa), o que implicaria que assume valores de sinais opostos nesse intervalo.
Portanto, precisamos calcular
Podemos ver que é negativo e é positivo. Portanto, pelo teorema do valor intermediário, sabemos que existe pelo menos um valor para o qual , ou seja, .
Isso conclui a demonstração de que existe um
Resposta
Isso conclui a demonstração de que existe um