Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta .
Passo 1
Esse denominador vai zerar quando , ou seja, . De resto, não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua. Vamos calcular o limite da função nesse ponto:
Passo 2
Para resolver esse cara, vou substituir o seu denominador por , para simplificar a matemática do negócio:
Passo 3
Nesse momento, vou lembrar você de uma propriedade trigonométrica:
Com isso, teremos:
Onde e . Enfim, temos:
O que significa que posso escrever o limite como:
Passo 4
Vou multiplicar pelo conjugado quadrado de em cima e embaixo:
Onde . Dessa maneira,
Passo 5
Podemos destacar um Limite fundamental ali do resto do limtie, repara:
Substituindo o limite fundamental por e no resto, teremos:
Portanto, teremos extensão contínua nesse ponto, . Dessa forma, a equação da função acabaria como: