Calcule o fluxo do campo vetorial para fora da superfície
Passo 1
O fluxo do campo vetorial é igual a integral de superfície vetorial de nesse campo.
Cara, a gente tem uma superfície chatinha de parametrizar e ela está orientada com o vetor normal externo (o fluxo está apontando para fora). Essas são dicas para gente calcular essa integral usando o teorema de Gauss!
Vamos começar calculando o divergente de para saber se nossa ideia é boa mesmo. Ele tem essa fórmulinha:
Como o nosso campo é:
Então a gente calcula:
Nossa o divergente está bem simples. Outra dica de que vamos de Gauss. Vem comigo!
Passo 2
Cara, Gauss tem umas condições para aplicar. Uma delas já atendemos:
- nosso campo está bem definido em todo (já que não temos nenhuma restrição no domínio, tipo um denominador que pode zerar).
Maaas, precisamos dar uma atenção especial a mais duas delas. Como assim? Os vetores normais precisam apontar para a parte externa de uma superfície fechada.
- Temos um hiperboloide de uma folha.
Porque ele parece com um elipsoide, mas tem um termo negativo. Ele é aquela superfície que parece um tronco de árvore. Isso significa que a nossa superfície não está fechada em cima e embaixo.
O que a gente faz? Chora? Não! A gente vai fechar esse cara. Com planos em formato circular, porque planos são simples. Aí a nossa superfície geral vai ser o hiperboloide mais dois planos circulares.
Repara nesse gráfico lindão, lembrando que para o hiperboloide temos que :
Podemos parametrizar o plano de baixo como:
A componente dele em é nula porque ele está em no espaço.
Repara que o nosso plano, para fechar a essa superfície por baixo, precisa ter o formato da interseção do hiperboloide com o plano , certo? A equação dela é:
Ou seja, uma circunferência. Nosso plano vai estar dentro dessa circunferência. Então a gente pode dizer que o domínio dele é:
Fazendo um raciocínio parecido para o plano circular que fecha nossa região por cima em , vamos ter:
Passo 3
Agora vamos montar nossa equação pelo teorema de Gauss. Ele diz que:
Esse é uma superfície fechada. No nosso caso, a superfície fechada é a soma de três superfícies. A semiesfera e os planos. Então a gente pode reescrever essa parte assim:
Lembra que nosso divergente deu 0:
Vamos calcular essas duas integrais da direita, aí achamos a que o enunciado pede.
Passo 4
O campo é aquele:
A nossa parametrização dos planos é:
A gente precisa começar achando o vetor normal a cada um desses planos. Mas repara que está dentro de e é também paralelo a esse plano. O vetor normal a todo o é o vetor , que é o sentido do eixo , certo?
Então esse vai ser o nosso vetor para os dois planos? Cara, ele com certeza é normal as nossas superfícies, mas ele está apontando para fora da nossa região fechada em forma de tronco para os dois planos?
Em , ele está apontando para dentro da nossa região. Para apontar para fora, ele precisa estar apontando no sentido oposto. Então só vamos multiplicar ele por :
Aí o nosso integrando para primeiro plano fica:
A gente precisa substituir as componentes do plano aí. E colocar o domínio da parametrização desse plano como o domínio da integral:
Achamos então o valor de uma integral!
Passo 5
Agora repara que para o plano que está em , se o vetor aponta para cima, ele aponta para fora da região. Então a gente pode dizer que para ele:
Aí o nosso integrando para esse fica:
A gente precisa substituir as componentes do plano aí. E colocar o domínio da parametrização desse plano como o domínio da integral:
Passo 6
Voltando para o teorema, a gente tem:
A integral dupla sobre esse círculo de raio vai ser igual a área do círculo! Isso porque o argumento dela é . Como a área do círculo é e :
Daí o fluxo por fica: