Seja
E a normal unitária exterior ao círculo . Calcule onde , .
Passo 1
O que a questão está pedindo uma integral de linha:
Onde é o vetor normal a curva.
Passo 2
Pra começar, vemos que é a paramentrização do círculo dado na questão (ou pelo menos parte dele, já que só vai até ). Já é um bom sinal!
Só falta verificar se o vetor normal a também é unitário.
Vamos lembrar que o vetor normal a curva pode ser obtido por:
Que tem módulo:
Ou seja, é unitário também e, portanto, é igual ao vetor dado na questão.
Passo 3
Só pra deixar organizado, vamos escrever o campo em função da parametrização:
Muito prático, nada muito complicado comparado ao que tinhamos antes, né?
Agora que já temos tudo que precisamos, só precisamos jogar na integral:
Resposta
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2. Prove que F → . n → for constante sobre Im γ, então o fluxo deF → . n → através de γ é o produto de F → . n → pelo comprimento de γ, onde n → é normal a γ
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) F → x , y = xi →+ yj →, γ t = t ,t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 n → a normal com componente y0
Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?
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Massa de um fio Encontre a massa de um fio que se encontra ao longo da curva r(t) = (t2 – 1)j + 2tk, 0 ≤ t ≤ 1, se adensidade for d = (3/2)t