Seja

F → x , y = x x 2 + y 2 5 i → + y x 2 + y 2 5 j →

E n → a normal unitária exterior ao círculo x 2 + y 2 ≤ 1 . Calcule ∫ γ F → ∙ n →   d t onde γ = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , 0 ≤ t ≤ π .

Passo 1

O que a questão está pedindo uma integral de linha:

∫ γ F → ∙ n →   d t

Onde n → é o vetor normal a curva.

Passo 2

Pra começar, vemos que γ é a paramentrização do círculo dado na questão (ou pelo menos parte dele, já que t só vai até π ). Já é um bom sinal!

Só falta verificar se o vetor normal a γ também é unitário.

Vamos lembrar que o vetor normal a curva pode ser obtido por:

n → γ = d y d t ,   - d x d t = cos ⁡ t , sin ⁡ t

Que tem módulo:

n → γ = cos ⁡ t 2 + sin ⁡ t 2 = 1

Ou seja, n → γ é unitário também e, portanto, é igual ao vetor n → dado na questão.

Passo 3

Só pra deixar organizado, vamos escrever o campo em função da parametrização:

F → x t , y t = cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + + sin 2 ⁡ t 5   , sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + + sin 2 ⁡ t 5 = cos ⁡ t , sin ⁡ t

Muito prático, nada muito complicado comparado ao que tinhamos antes, né?

Agora que já temos tudo que precisamos, só precisamos jogar na integral:

∫ γ F → ∙ n →   d t = ∫ 0 π cos ⁡ t , sin ⁡ t ∙ cos ⁡ t , sin ⁡ t   d t

= ∫ 0 π cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t d t = ∫ 0 π d t = t │ 0 π = π

Resposta

π

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