Uma esfera homogênea de massa M está localizada próximo a uma barra fina e homogênea de massa m e comprimento L , como na Figura 11-31. Determine a força gravitacional de atração exercida pela esfera sobre a barra.

Passo 1

Começamos aqui usando a simetria da esfera para acumular toda a sua massa em seu centro, criando forças que variam somente com o inverso do quadrado da distância.

Se liga na imagem:

A expressão para f será:

f = G M d m x 2

Como a barra é homogênea:

λ = m L

E a relação entre d m e d l é dada por:

d m = λ d l

Passo 2

Então, para encontrarmos a força total, basta integrarmos:

F = ∫ a a + L G M λ x 2   d x

Logo:

F = G M m L   - 1 x | a a + L  

F = G M m L - 1 a + L - - 1 a

F = G M m L + a - a L a ( a + L )

Sabemos a direção e o sentido da força:

F → = - G M m L L a ( a + L )   i ^

F → = - G M m a ( a + L )   i ^

Resposta

F → = - G M m a ( a + L )   i ^

Exercícios Resolvidos de Força e Campo Gravitacional Envolvendo Integrais

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