UFPE – Álgebra Linear – 2020.1 – Segundo Exercício Escolar – 3
Q2-) Encontre todas as funções reais diferenciáveis x = x(t), y = y(t) e z(t)que satisfaçam o sistema
dx/dt = −x − y − z
dy/dt = 8x − y + 4z
dz/dt = 2x + 5y + 2z
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos descobrir funções.
O enunciado nos pede para encontrarmos as funções , , que satisfaçam o sistema:
Vamos começar simplificando este sistema, multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a última. E colocando o 4 em evidencia na segunda equação
E agora definindo uma nova variável “” como teremos que:
Agora temos um sistema mais simples para trabalhar.
Passo 2
Vamos definir o vetor com as variáveis:
E sabemos que:
Então:
Sendo a matriz dos coeficientes do nosso sistema linear:
Vamos supor que a solução desta EDO é:
Assim teremos que:
Substituindo estes valores na EDO:
Simplificando por :
Assim descobrimos que é um autovetor de e é o seu autovalor associado.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de M:
E os autovetores serão:
Para :
Assim montamos o sistema linear:
Logo o autovetor associado ao autovalor será:
Passo 4
Para :
Assim montamos o sistema linear:
Logo o autovetor associado ao autovalor será:
Passo 5
Substituindo os valores na solução que encontramos para a EDO:
Assim para :
Lembrando que :
Passo 6
E para :
Substituindo :
Passo 7
Assim encontramos a forma genérica de y:
Como , teremos:
E utilizando equação dada inicialmente, vamos fazer um novo sistema:
Substituindo os valores de y e de z:
Resolvendo essa EDO de primeira ordem:
Substituindo na expressão do :