USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, PSUB - 2017, Questão 12.
12. Seja o operador linear tal que , em que denota a base canônica de e:
Sabe-se que
em que denota o operador identidade de . Se denota a solução do sistema de equações diferenciais satisfazendo a condição , então é igual a:
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) ;
(e) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, temos que obter o valor de dado que e é a solução para a equação diferencial .
Se é dada pela matriz
E , então dados os núcleos , e .
Como podemos obter essa soma? 🤔
Analisando a equação diferencial, vemos que a solução de uma equação do tipo é dada por
No nosso caso, temos que aplicar essa solução para , e .
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 2
Se , a primeira coisa que temos que fazer é obter os autovalores de , ou seja
Encontrando as raízes desse polinômio, temos
Com isso, vemos que o núcleo de nos dá os autovetores associados ao autovalor, como a questão foi boazinha, ela já nos deu esses valores em (para ) , (para ) e (para )
Com isso em mente, a solução geral do sistema será dada baseado na solução de , ou seja
Por fim, vamos usar a informação de que nos deram.
Foi dito que
Logo
Resolvendo esse sistema, temos
Entendeu essa parte? 😎
Passo 3
Substituindo em ...
Como , então
E finalmente somando , e ...
Então a resposta é a letra c)!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
(c)