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Exercícios Resolvidos de Forma Canônica de Jordan

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Exercício 5123467

Enunciado

Seja T : V → V um operador linear definido pela matriz abaixo com respeito a base canônica C .

A =   - 11 - 8 - 14 3 0 5 6 4 8

Faça o seguinte:

  1. Calcule o polinômio característico;
  2. Encontre os autovalores;
  3. Obtenha o polinômio mínimo;
  4. Decida se o operador é diagonalizável ou não (justifique);
  5. Se for diagonalizável obtenha a matriz P tal que D = P - 1 A P é diagonal. Caso não seja diagonalizável, obtenha a forma de Jordan do Operador.

Passo 1

  1. Para encontrar o polinômio característico, usamos

    2. p a x = det ⁡ A - x I

    Assim, o polinômio característico da matriz A é

    p a x = x 3 + 3 x 2 - 3 = x + 2 2 x - 1

  2. A partir da letra (a) conseguimos concluir que os autovalores são - 2 e 1 .

  3. Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:

    4. x + 2 x - 1 e x + 2 2 x - 1

    Então só falta verificar quais dessas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que m A A = 0 .

    Vamos verificar primeiro se x + 2 x - 1 é o polinômio mínimo de A :

    A + 2 I A - I = - 9 - 8 - 14 3 2 5 6 4 10 - 12 - 8 - 14 3 - 1 5 6 4 7 ≠ 0 .

    Portanto, o polinômio mínimo de A é

    m A A = x + 2 2 x - 1 =   p a x

  4. Este operador não é diagonalizável, uma vez que seu polinômio característico tem raízes repetidas.
  5. Já sabemos que esta matriz tem um bloco de Jordan de tamanho 2 associado ao autovalor - 2 e um bloco de Jordan de tamanho 1 associado ao autovalor 1 .

Então, a forma de Jordan é

- 2 1 0 0 - 2 0 0 0 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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