Seja um operador linear definido pela matriz abaixo com respeito a base canônica .
Faça o seguinte:
- Calcule o polinômio característico;
- Encontre os autovalores;
- Obtenha o polinômio mínimo;
- Decida se o operador é diagonalizável ou não (justifique);
- Se for diagonalizável obtenha a matriz tal que é diagonal. Caso não seja diagonalizável, obtenha a forma de Jordan do Operador.
Passo 1
- Para encontrar o polinômio característico, usamos
- A partir da letra (a) conseguimos concluir que os autovalores são e .
- Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
- Este operador não é diagonalizável, uma vez que seu polinômio característico tem raízes repetidas.
- Já sabemos que esta matriz tem um bloco de Jordan de tamanho 2 associado ao autovalor e um bloco de Jordan de tamanho 1 associado ao autovalor .
Assim, o polinômio característico da matriz é
e
Então só falta verificar quais dessas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que .
Vamos verificar primeiro se é o polinômio mínimo de :
Portanto, o polinômio mínimo de A é
Então, a forma de Jordan é
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)