Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída na seção transversal da escora se ela for submetida a uma força de cisalhamento .
Passo 1
O que está acontecendo?
Por causa da força cortante , vão surgir nessa seção tensões de cisalhamento de acordo com a fórmula do cisalhamento:
Onde:
- (também conhecido como “”) é o momento estático, calculado para uma fibra da seção;
- (também conhecido como ) é o momento de inércia da área da seção;
- & (também conhecido como ) é a largura da fibra em que se quer calcular a tensão .
Além disso, como essa seção é simétrica em relação à horizontal, já sabemos que a sua linha neutra/centroide fica bem no seu meio:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente esboce um gráfico da intensidade da tensão de cisalhamento distribuída nessa seção.
Para fazer isso, devemos seguir os passos abaixo:
Sendo que no nosso caso, já conhecemos a posição da linha neutra, então podemos pular esse passo.
Aí, depois de aplicarmos a fórmula do cisalhamento para cada fibra, vamos poder colocar os resultados para a tensão em um gráfico e conectar esses pontos, completando o gráfico pedido pelo exercício!
Passo 2
Então vamos lá!
Primeiro, precisamos fazer o cálculo do momento de inércia da área para essa seção.
Para tanto, começamos separando a seção em elementos numerados:
Feito isso, calculamos:
- o momento de inércia da área ;
- a área ;
- e a distância de seu centro até a linha neutra,
...para cada um desses elementos.
Todos os elementos são retangulares, então eles vão ter áreas e momentos dados pela fórmula:
Observando as dimensões fornecidas pelo exercício, vemos que para os elementos e , temos uma base e uma altura , de tal forma que:
Já para o elemento , temos uma base e uma altura , de tal forma que:
Por fim, observando mais uma vez as dimensões fornecidas pelo exercício, encontramos as distâncias e dos centros dos elementos e à linha neutra:
E como o centro do elemento já está na própria linha neutra, vamos ter que:
Feito tudo isso, podemos finalmente aplicar a fórmula:
...para determinar o momento de inércia da área da nossa seção como um todo:
Como , e , podemos re-escrever essa fórmula assim:
Finalmente, substituindo todos os valores disponíveis acima, encontramos que:
Ou então:
Passo 3
Agora, vamos identificar as fibras que nos interessam nessa viga, que são:
- As fibras no topo e na base da seção;
- As fibras nas regiões em que há uma mudança na geometria da seção;
- & a fibra na linha neutra da seção.
Fazendo isso, devemos ter um desenho assim:
Sendo que nesse desenho, as dimensões foram adicionadas para facilitar já os nossos cálculos no próximo passo.
Passo 4
Identificadas as fibras, podemos calcular os momentos estáticos delas.
Nesse momento, vão nos ajudar as dicas que vimos na teoria:
Assim, para as fibras e , no topo e na base da seção, já sabemos que elas vão ser iguais à :
Em seguida, por simetria, podemos dizer que os momentos estáticos para as fibras e vão ser iguais:
Para calcular esses momentos estáticos, podemos escolher observar a região acima da fibra .
Nessa região, vamos ter um único elemento retangular, de área e com uma posição do centro em relação à linha neutra , de tal forma que:
Por fim, para calcular o momento estático , podemos observar a região acima da fibra .
Nessa região, vamos ter:
- O mesmo elemento retangular que havia na região acima da fibra , para o qual e ;
- E um elemento retangular encostando na linha neutra, de base e altura , tendo assim uma área e uma posição .
Dessa forma, temos que:
Passo 5
Por fim, podemos aplicar a fórmula do cisalhamento:
...para cada fibra, tomando o cuidado de aplicar essa fórmula duas vezes para as fibras em que existem dois valores da largura .
(Nesse caso, temos que tomar esse cuidado para as fibras e , onde há uma mudança na largura da seção.)
Começando pelas fibras e :
Como o momento estático para essas fibras é igual à , vamos ter que:
Já para as fibras e , temos:
Substituindo os valores:
- ;
- ;
- ,
E utilizando o valor maior da largura para essas fibras, , encontramos que:
Calculando tudo isso, vamos ter um resultado final em ou :
Em seguida, utilizando o valor menor da largura para essas fibras, , encontramos que:
O que dá:
Por fim, para a fibra , temos:
E substituindo:
- ;
- ;
- ,
E a largura da seção na região da fibra , , encontramos que:
Passo 6
Finalmente, inserindo os valores de tensão encontrados no passo anterior em um gráfico, e conectando esses pontos sabendo que:
- A distribuição de tensões devido à força cortante é parabólica;
- E de que o ponto máximo dessas parábolas ocorre sempre na linha neutra da seção.
Ficamos com o gráfico abaixo, que é a nossa resposta para o exercício:
