Origem do Exercício
Considere a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio , onde
e é o raio de Bohr. Para o átomo de no estado fundamental calcule a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância menor do que o raio de Bohr.
Passo 1
A função de onda é tridimensional. Assim, para acharmos a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância menor do que o raio de Bohr, nós teríamos que integrar ela sobre uma esfera.
Pra facilitar, nós usamos a distribuição de probabilidade radial, que já tem dentro de si a integração em uma esfera, bastando então integrarmos no raio.
Para a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância menor que o raio de Bohr do núcleo:
Agora, pra resolver essa integral, tem duas coisas que podem facilitar nossa vida: Mudança de variáveis e integral por partes.
Passo 2
Fazendo a substituição , teremos:
Essa integral pode ser resolvida duas vezes por partes, nos dando:
Fazendo a integral da direita por partes de novo:
Substituindo:
Assim, aplicando os limites de integração: