Considere a seguinte função de onda do elétron no átomo de hidrogênio dada por:
Onde é o raio de Bohr e é uma constante real.
(a) Calcule a distância, medida a partir do centro do núcleo, onde a probabilidade radial de encontrar o elétron é máxima.
(b) Calcule a constante C e o valor médio de r nesse estado.
(c) Quais são os números quânticos associados ao estado do elétron correspondente à função de onda acima? Obtenha o módulo do momento angular orbital L.
Passo 1
(a) Sabemos que é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron.
Se a gente pega um volume bem pequenininho do átomo de Hidrogênio, onde , podemos aproximar essa probabilidade por:
Mas a gente quer saber como essa probabilidade varia ao longo da distância do elétron ao núcleo.
Então a gente usa o voluminho como sendo o espaço entre duas cascas esféricas:
E então:
E a probabilidade radial vai ser a função:
Para a função de onda dada:
Para acharmos os pontos de máximo dessa função, derivamos e igualamos a zero:
Logo:
Passo 2
(b) A constante C é encontrada partir da condição de normalização:
Com:
Fazendo a mudança de variáveis:
Vamos ter:
Usando as informações do formulário da prova:
Vamos ter:
Já o valor médio de r é:
Fazendo a mudança de variáveis:
Vamos ter:
Passo 3
(c) No estado em que achamos no item (a), , ou seja, a distância é exatamente igual ao raio de Bohr.
Logo, estamos no estado fundamental, com
Consequentemente, temos e
O número quântico associado ao spin pode ser ou
Por fim, o módulo do momento angular orbital é:
Portanto:
Resposta
(a)
(b) ,
(c)