Origem do Exercício
A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, no estado , é
onde é o raio de Bohr e é uma constante real.
- Use a condição de normalização para determinar o valor de .
- Para este estado, escreva a expressão da distribuição de probabilidade radial (densidade de probabilidade radial). Calcule o valor de para o qual ela é máxima.
- Calcule a probabilidade de se encontrar o elétron a uma distância maior do que .
Passo 1
Letra a)
Invés de usar a função de onda, podemos usar a distribuição de probabilidade radial.
Assim:
Para resolver essa integral, vamos primeiro fazer uma mudança de variáveis.
Agora, essa integral pode ser resolvida por partes. Neste caso, essa integral fazia parte do formulário da prova, dando:
Se for diferente, de zero, podemos escrever:
Quando , essa função vai dar zero, por causa da exponencial.
Quando , essa função vai dar .
Assim:
Passo 2
Letra b)
Como usado antes, a distribuição de propabilidade radial vai ser:
Substituindo encontrando antes:
Para achar onde ela é máxima, precisamos derivá-la e igualar a zero:
Em , teremos:
Passo 3
Letra c)
O elétron ou está a uma distância maior que , ou está a uma distância menor.
Assim, se somarmos as duas probabilidades, teremos:
Ao invés de calcular diretamente a probabilidade de encontrar a uma distância maior que , podemos calcular a probabilidade de encontrar a uma distância menor, e subtrair de 1.
Essa probabilidade vai ser:
Mas já resolvemos essa integral antes! Vai ser:
O termo em função de , para zero, vai dar .
Quando , temos , e substituindo, o termo em função de vai dar
Temos então:
Para achar a probabilidade de o elétron estar a uma distância maior que , temos:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)