Mostre que a função

f(x) = tgh(x)

É uma função ímpar.

Passo 1

Vamos lááá!! Antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que significa uma função ser ímpar?

Uma função será ímpar quando

f - x = - f x

Beleza?! Então vamos verificar se essa igualdade é satisfeita com a função f x =   t g h ( x ) ?!

Passo 2

Podemos escrever a função tg h ⁡ x da forma

tgh ⁡ x = s e n h x   cosh ⁡ x

Beleza?! Utilizaremos ela para verificar se a igualdade f - x = - f x

É verdadeira, beleza?!

Assim,

tgh ⁡ - x = s e n h - x   cosh ⁡ - x

Temos que a função s e n h x é uma função ímpar, então

senh ⁡ - x = - senh ⁡ x

Da mesma forma, a função cosh ⁡ x é par, então

c o s h - x = c o s h x

Assim,

tgh ⁡ - x = - s e n h x   cosh ⁡ x

Opa! A expressão que encontramos

- s e n h x   cosh ⁡ x =   - t g h x

Ou seja,

t g h - x = - t g h x

Logo, a função t g h x é ímpar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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