4. Uma amostra de um gás ideal em ocupa em . O gás se expande até
, seguindo dois caminhos diferentes: (a) expansão isotérmica reversível e (b) expansão livre isotérmica. Calcule , , , , e de cada caminho. Justifique.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos pede acharmos algumas variáveis (, , , , e ) por dois caminhos diferentes.
Mas antes de fazer isso, vamos precisar calcular o número de mols inicial. Para isso vamos usar a equação de estado dos gases ideais:
Onde,
Subsitutindo na fórmulala, temos
Agora podemos aplicar a equação de calor para cada condição! Bora lá!
Passo 2
- Primeiro vamos calcular para expansão isotérmica reversível! Vamos analisar primeiro o nome do processo:
- Agora vamos para expansão livre isotérmica. Continuamos com uma expansão isometermica, mas agora ela é livre, ou seja, vamos considerar o estado inicial e final. Sem pensar nos pequenos equilíbrios que ocorrem em uma expansão reversível.
Se ele é reversível significa que, em princípio, o processo é feito infinitamente devagar de modo que o reverso microscópico do estado final regenere exatamente o estado inicial;
Se ele é isotérmico significa apenas temperatura constante;
E se temos uma expansão significa um aumento de volume;
Ou seja, uma expansão isotérmica reversível é um aumento infinitamente lento no volume a temperatura constante.
Para um gás ideal temos que é função da temperatura, como ela é constante (ou seja, não varia) temos que
Passo 3
Para achar o trabalho, vamos usar
Substituindo os valores,
Passo 4
Para achar , temos que lembrar que
Como , temos que . Logo,
Passo 5
Já a entropia é dada por,
Substituindo os dados,
Já o será nulo, pois se trata de transformação termodinamicamente reversível.
Lembrando que
Logo,
Passo 6
Temos que aqui também a variação da energia interna será nula, pois se trata de uma função de estado. Portanto, como os estados inicial e final foram os mesmos do caminho (a) a variação de energia interna do sistema deve ser a mesma.
Passo 3
Como agora temos uma expansão não reversível, para achar o trabalho, vamos usar
Mas como a expansão é livre, ou seja, contra vácuo, temos que a pressão é nula (). Logo,
Passo 4
Para achar , temos que lembrar que
Como , temos que . Logo,
Passo 5
Temos que a variação da entropia também é uma função de estado, ou seja, só devemos considerar o seu estado inicial e final. Portanto, como os estados inicial e final foram
os mesmos do caminho (a) a variação de entropia do sistema deve ser a mesma.
Ou seja,
Já , uma vez que nenhuma energia foi trocada com a vizinhança como calor.
Por fim, temos que
Prontinho!
Resposta
a)
b)