P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2015.1

Considere dada por , onde . Denotamos por a base canônica de .

Defina “autoespaço associado ao autovalor de ”.

À questão “Calcule a matriz em coordenadas homogêneas da rotação em de no sentido trigonométrico em torno do ponto .”, Breninho respondeu:

Sabemos que a imagem do centro de rotação é , mas ao aplicarmos a matriz no ponto de coordenadas homogêneas obtemos . Assim, podemos afirmar que Breninho errou.

Seja um subespaço vetorial de e uma transformação linear. Defina “ é invariante por ”.

No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .

Mostre que se é positiva definida e são vetores não nulos tais que , então é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de ser linearmente independente).

No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .

Mostre que se é positiva definida e se é autovalor de , então .

Verdadeiro ou falso: Toda transformação linear positiva definida é inversível.

À questão “Calcule a matriz em coordenadas homogêneas da rotação em de no sentido trigonométrico em torno do ponto .”, Breninho respondeu:

Sabemos que a imagem do centro de rotação é , mas ao aplicarmos a matriz no ponto de coordenadas homogêneas obtemos . Assim, podemos afirmar que Breninho errou.

Aponte e explique o erro de Breninho.

Dê uma explicação geométrica do por que .

Considere dada por , onde . Denotamos por a base canônica de .

Calcule a matriz e determine se é diagonalizável para qualquer valor . (Dica: não tente calcular os autovetores)

No caso em que , ache uma base de constituída de autovetores de .

No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .

Seja a rotação de no sentido trigonométrico em torno da origem. Mostre que é positiva definida, mas não é diagonalizável.