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À questão “Calcule a matriz em coordenadas homogêneas da rotação em de no sentido trigonométrico em torno do ponto .”, Breninho respondeu:
Sabemos que a imagem do centro de rotação é , mas ao aplicarmos a matriz no ponto de coordenadas homogêneas obtemos . Assim, podemos afirmar que Breninho errou.
Aponte e explique o erro de Breninho.
Dê uma explicação geométrica do por que .
Passo 1
Letra
Como Breninho estava tentando rotacionar algo fora da origem é um caso de coordenadas homogêneas. Assim, para fazer isso teria que rotacionar primeiro o ponto desejado para a origem, e sabendo que ordem é da direita para a esquerda, pois ao posicionarmos o vetor a sofrer todas essas operações o posicionamos do lado direito:
E como a ordem das matrizes importa, já que são elas que fazem as operações desejadas, a ordem é essencial. Portanto, o que Breninho fez foi primeiro transladar o ponto que já estava fora da origem por , ou seja mais uma unidade no eixo e mais zero unidades do eixo , sendo que na verdade deveria ter feito . Assim, podemos dizer que Breninho trocou a ordem das matrizes e .
Outra justificativa, seria Breninho ter esquecido de “trazer” de novo o ponto rotacionado para o , esquecendo assim de multiplica pela matriz de ajuste:
Uma vez que para usar coordenadas homogêneas temos que levar o ponto para o .
Passo 2
Letra
Podemos encarar o como o módulo do produto vetorial de dois vetores. E como o produto vetorial nada mais é do que um determinante, assim ele seria a área do paralelogramo formado por dois vetores que dá .
Também podemos justificar que a rotação preserva a área, pois a razão entre a área inicial e a final é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)