Autovetores e Autovalores
No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .
Mostre que se é positiva definida e se é autovalor de , então .
Verdadeiro ou falso: Toda transformação linear positiva definida é inversível.
Passo 1
Letra
Sabendo que é autovalor de , vamos chamar de o autovetor associado e assim sabemos que . Assim, como é positiva definida:
Como sabemos que é sempre positivo, o único jeito de tudo ser positivo , é com positivo. Logo, .
Passo 2
Letra
Assumindo que sempre terá autovalor e autovetor, pela questão anterior, sabemos que se ela tiver autovalor ele não poderá ser zero, apenas maior que ele. Portanto, como o núcleo de uma é o autoespaço associado a , então sabemos que , e portanto é injetiva. Mas como, neste caso particular, o domínio da é igual ao contradomínio pelo :
E como a é injetiva e sobrejetiva ela é bijetiva e, portanto inversível.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)