Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

a   Mostre que se T é positiva definida e se λ é autovalor de T , então λ > 0 .

b   Verdadeiro ou falso: Toda transformação linear positiva definida é inversível.

Passo 1

Letra ( a )

Sabendo que λ é autovalor de T , vamos chamar de v o autovetor associado e assim sabemos que T v = λ v . Assim, como T é positiva definida:

v ,   T v = v , λ v = λ v , v = λ v 2 > 0

Como sabemos que v 2 é sempre positivo, o único jeito de tudo ser positivo ( λ v 2 > 0 ) , é com λ positivo. Logo, λ > 0 .

Passo 2

-

Letra ( b )

Assumindo que T sempre terá autovalor e autovetor, pela questão anterior, sabemos que se ela tiver autovalor ele não poderá ser zero, apenas maior que ele. Portanto, como o núcleo de uma T L é o autoespaço associado a λ = 0 , então sabemos que N u c T = { 0 } , e portanto T é injetiva. Mas como, neste caso particular, o domínio da T é igual ao contradomínio pelo T N I :

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T = R n ⇒

dim ⁡ I m T = n = dim ⁡ C D o m T = R n

E como a T é injetiva e sobrejetiva ela é bijetiva e, portanto inversível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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