Lista de Exercícios VC de Cálculo 1 da IME - 2019

Uma determinada máquina deve operar em velocidade constante de rotação. Sua jornada de trabalho é limitada entre rotações por minuto. O custo energético da máquina, medido por , é de por minuto e é consumido em uma razão de por minuto. O operador da máquina é pago a um custo de reais por minuto. Considere que a velocidade de rotação constante é obtida logo que a máquina entre em funcionamento. Determine para cada valor de , a velocidade de rotação que se obtém o custo mínimo consumido pela máquina em uma jornada de trabalho, sabendo que

Seja derivável em . Suponha que . Prove que existe um ponto no intervalo tal que .

Dica: Use uma função auxiliar

Seja ; . Prove (usando derivação) que ou prove (usando teoremas de continuidade) que existe um número , tal que

Seja derivável até segunda ordem em tal que Seja também

Dê o que se pede:

1. Determine , se possível, de modo que seja contínua no ponto .
2. Determine se o ponto é o ponto mínimo, máximo, de inflexão ou nenhum dos casos.

Um determinado sistema tem sua capacidade variando com um parâmetro através de dois modelos definidos dependentes do valor de . Quando é não-negativo sabe-se que , e quando é negativo sabe-se que . Você é o engenheiro responsável e precisa entender o total funcionamento do sistema com a variação do parâmetro . Com isso:

1. Faça o esboço do modelo completo da capacidade do sistema para a variação de em todo . (Obs.: Devem ser apresentados todos os cálculos antes do desenho do esboço, englobando todos os passos vistos em teoria em sala).
2. Os pontos críticos obtidos na capacidade do sistema quando varia em todo .
3. Os pontos de inflexão obtidos na capacidade do sistema quando varia em todo .
4. Sabendo que o sistema funcionará apenas para e , determine, caso existam, os máximos e mínimos globais para cada um dos intervalos de funcionamento.