Seja f(x) = ln(1 + 1/x) - 1 / (1 + x) ; x > 0 . Prove (usando derivação) que f(x) > 0; ∀ x > 0 ou prove (usando teoremas de continuidade) que existe um número c > 0 , tal que f(c) ≤ 0

Passo 1

Faleis vós, ó consagrados! Antes de decidir enveredar por qualquer um dos caminhos apresentados, analisemos a função. Quando x → 0 + , observe que o logaritmo cresce infinitamente e a razão converge, logo f → ∞ . A partir daí analisemos o crescimento da função:

f ' x = x x + 1 ⋅ - 1 x 2 + 1 1 + x 2

= - 1 ⋅ x + 1 + 1 ⋅ x x + 1 2 x

= - 1 x + 1 2 x

Logo, f ' x < 0 para x > 0 tornando a função estritamente decrescente.

Passo 2

Temos ainda que:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 x - 1 1 + x = 0

Basta verificar se a função tende a 0 por cima ou por baixo, de forma a verificar sua positividade. Para isto, considere que:

f ' ' x = 1 x + 1 4 x 2 x + 1 2 x '

= 1 x + 1 4 x 2 2 x + 1 x + x + 1 2

= 3 x + 1 x + 1 3 x 2

Logo, f ' ' x > 0 ,   ∀ x > 0 , tal que nesse intervalo a concavidade da função está para cima e de fato a função tende a 0 superiormente, sem nunca admitir número c > 0 tal que f c ≤ 0 . Assim, f x > 0 ,   ∀ x > 0 .

Resposta

f x > 0 ,   x > 0

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