Seja ; . Prove (usando derivação) que ou prove (usando teoremas de continuidade) que existe um número , tal que
Passo 1
Faleis vós, ó consagrados! Antes de decidir enveredar por qualquer um dos caminhos apresentados, analisemos a função. Quando , observe que o logaritmo cresce infinitamente e a razão converge, logo . A partir daí analisemos o crescimento da função:
Logo, para tornando a função estritamente decrescente.
Passo 2
Temos ainda que:
Basta verificar se a função tende a 0 por cima ou por baixo, de forma a verificar sua positividade. Para isto, considere que:
Logo, , tal que nesse intervalo a concavidade da função está para cima e de fato a função tende a 0 superiormente, sem nunca admitir número tal que . Assim, .