IME, Cálculo 1, 2019, VC, Q5
Seja derivável até segunda ordem em tal que Seja também
Dê o que se pede:
- Determine , se possível, de modo que seja contínua no ponto .
- Determine se o ponto é o ponto mínimo, máximo, de inflexão ou nenhum dos casos.
Passo 1
Faaala, bonde! Em temos que calcular o limite de quando , pois para que esta função seja contínua em , devemos ter:
Com isto, observe que da expressão, para :
Contabilizando cada parcela separadamente, observe que para :
Pelo Teorema do Confronto, como , a desigualdade acima implica que:
Além do mais, para , um truque que funciona para todo elemento é:
Do enunciado, , de forma que:
Novamente, pelo Teorema do Confronto, como , a desigualdade acima implica que:
Atrelando estes resultados aos cálculos iniciais, temos:
Passo 2
Na letra , substituindo na equação dada, obtemos . Observe que para uma função derivável até segunda ordem (portanto com primeira derivada contínua), pontos de máximo e mínimo apresentam e . Logo, não é nenhum destes últimos, pois .
Para verificar se é ponto de inflexão, devemos verificar se muda de sinal neste ponto. Segundo a equação dada, temos:
Como para , temos que tem o mesmo sinal que . Observe novamente que:
E como :
Para , temos e:
Enquanto para , temos e:
Assim, de fato é ponto de inflexão.
Resposta
- Ponto de inflexão