Seja f derivável até segunda ordem em R tal que |x| ≥ f'(x) Seja também

| x^(1/5) f''(x) + f'(x) - 6x = 0; ∀ x ∈ R

Dê o que se pede:

  1. Determine f''(0) , se possível, de modo que f'' seja contínua no ponto x = 0 .
  2. Determine se o ponto x = 0 é o ponto mínimo, máximo, de inflexão ou nenhum dos casos.

Passo 1

Faaala, bonde! Em ( a ) temos que calcular o limite de f ' ' quando x → 0 , pois para que esta função seja contínua em x = 0 , devemos ter:

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) = f ' ' ( 0 )

Com isto, observe que da expressão, para x ≠ 0 :

lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) = lim x → 0 ⁡ - f ' x x 1 5 + x 1 5 x 1 5 6 x 4 5

Contabilizando cada parcela separadamente, observe que para x ≠ 0 :

- 1 ≤ x 1 5 x 1 5 ≤ 1 ,         6 x 4 5 > 0 ⇒ - 6 x 4 5 ≤ x 1 5 x 1 5 6 x 4 5 ≤ 6 x 4 5

Pelo Teorema do Confronto, como lim x → 0 ⁡ 6 x 4 5 = lim x → 0 ⁡ - 6 x 4 5 = 0 , a desigualdade acima implica que:

lim x → 0 ⁡ x 1 5 x 1 5 6 x 4 5 = 0

Além do mais, para x ≠ 0 , um truque que funciona para todo elemento é:

- f ' x ≤ - f ' x ≤ | f ' ( x ) |

Do enunciado, x ≥ | f ' ( x ) | , de forma que:

- x ≤ - f ' x ≤ x ,             x 1 5 > 0 ⇒

⇒ - x 4 5 ≤ - f ' x x 1 5 ≤ x 4 5

Novamente, pelo Teorema do Confronto, como lim x → 0 ⁡ x 4 5 = lim x → 0 ⁡ - x 4 5 = 0 , a desigualdade acima implica que:

lim x → 0 ⁡ - f ' x x 1 5 = 0

Atrelando estes resultados aos cálculos iniciais, temos:

f ' ' 0 = lim x → 0 ⁡ f ' ' ( x ) = lim x → 0 ⁡ - f ' x x 1 5 + x 1 5 x 1 5 6 x 4 5

⇒ f ' ' 0 = 0 + 0 = 0

Passo 2

Na letra ( b ) , substituindo x = 0 na equação dada, obtemos f ' 0 = 0 . Observe que para uma função derivável até segunda ordem (portanto com primeira derivada contínua), pontos de máximo e mínimo apresentam f ' = 0 e f ' ' ≠ 0 . Logo, x = 0 não é nenhum destes últimos, pois f ' ' 0 = f ' 0 = 0 .

Para verificar se x = 0 é ponto de inflexão, devemos verificar se f ' ' muda de sinal neste ponto. Segundo a equação dada, temos:

f ' ' x = 6 x - f ' ( x ) x 1 5

Como x 1 5 > 0 para x ≠ 0 , temos que f ' ' ( x ) tem o mesmo sinal que 6 x - f ' ( x ) . Observe novamente que:

- f ' x ≤ - f ' x ≤ | f ' ( x ) |

E como x ≥ | f ' ( x ) | :

- x ≤ - f ' x ≤ | x |

⇒ 6 x - x ≤ 6 x - f ' x ≤ 6 x + | x |

Para x > 0 , temos x = x e:

0 < 5 x ≤ 6 x - f ' x ≤ 7 x ⇒ 6 x - f ' x > 0 ⇒ f ' ' x > 0

Enquanto para x < 0 , temos x = - x e:

7 x ≤ 6 x - f ' x ≤ 5 x < 0 ⇒ 6 x - f ' x < 0 ⇒ f ' ' x < 0

Assim, de fato x = 0 é ponto de inflexão.

Resposta

  1. f ' ' 0 = 0
  2. Ponto de inflexão

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