Uma determinada máquina deve operar em velocidade constante de rotação. Sua jornada de trabalho é limitada entre 64 < v < 128 rotações por minuto. O custo energético da máquina, medido por kW , é de R($) 2,00 por minuto e é consumido em uma razão de 64 + (v^2 / 16) k W por minuto. O operador da máquina é pago a um custo de H reais por minuto. Considere que a velocidade de rotação constante é obtida logo que a máquina entre em funcionamento. Determine para cada valor de H , a velocidade de rotação que se obtém o custo mínimo consumido pela máquina em uma jornada de trabalho, sabendo que 0 ≤ H ≤ 2000.

Passo 1

Falaaa, pessoal! A primeira coisa que pega nessa questão é o português. Nós, na nossa casinha, pagamos conta de luz em k i l o w a t t - h o r a k W h que é uma unidade de energia, então vamos supor que os 2   reais sejam o preço do k W m i n , de forma que a nossa taxa constante de consumo energético ao longo de um dia seja:

D v = 2 r e a i s k W m i n 64 + v 2 16 k W m i n m i n + H   r e a i s   m i n

D v = 128 + H + v 2 / 8

Como H e v são constantes ao longo de uma jornada de trabalho a taxa será constante e o custo mínimo será consequência de uma taxa mínima.

Passo 2

Analisemos a taxa quanto ao mínimo. Em primeiro lugar, observe que a taxa é uma parábola de concavidade para cima cujo eixo de simetria é o eixo y e com vértice em y = 128 + H :

A menor taxa para um intervalo v ∈ ( 64,128 ) , e para todo H ∈ ( 0,2000 ) obviamente será em v = 64   r p m , uma vez que o ramo positivo da parábola é estritamente crescente.

Resposta

v = 64   r p m

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