Seja derivável em . Suponha que . Prove que existe um ponto no intervalo tal que .
Dica: Use uma função auxiliar
Passo 1
Faaala, galerinha do mal. Temos que deixar alguns gatilhos na mente, por exemplo o Teorema de Rolle usa essa condição de , vamos tentar aplicá-lo usando a dica.
Observe que como é infinitamente derivável e é derivável em , temos que é uma função derivável em e, portanto, contínua em (nas extremidades apenas por hipótese). Além disso,
Dadas estas condições, o Teorema de Rolle garante que deve haver tal que
Passo 2
Contudo,
Logo, para este :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)