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G2 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2018.2

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Considere a curva espacial parametrizada

α t = x t , y t , z t     ,     t ∈ - π , π

Onde

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

Seja C = α - π , π a imagem ou traço de α .

  1. Escreva uma equação paramétrica da reta r tangente à C em t = π 4 (ou seja, no ponto α π 4 ) .Explicite um vetor diretor de r .
  2. Escreva a equação cartesiana do plano Π ortogonal à α em t = π 4 .

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Considere a curva espacial parametrizada

α t = x t , y t , z t     ,     t ∈ - π , π

Onde

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

Seja C = α - π , π a imagem ou traço de α .

  1. Encontre e explicite uma função f ( x , y ) definida em todo R 2 e uma curva de nível g x , y = a ⊂ R 2 tal que C é a curva de interseção entre o gráfico de f e o cilindro vertical S sobre a curva g x , y = a , ou seja

    2. C = g r a f ( f ) ∩ S

    Onde

    g r a f f = x , y , z ∈ R 3     z = f x , y   ,   x , y ∈ R 2   }

    S = x , y , z ∈ R 3     g x , y = a ,   ( x , y ) ∈ R 2 }  

    Sugestão: encontre uma relação entre x ( t ) e y ( t ) e outra relação entre x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) baseadas em relações trigonométricas básicas.

  2. Explicite o normal N ao gráfico de f (a mesma f do item c ) no ponto P = 2 4 , 2 4 , 2 e escreva a equação paramétrica do plano Ω tangente ao gráfico de f em P .

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Seja

h x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y , - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1   ,     ( x , y ) ∈ R 2

Seja

u x , y = e - 2 x + 2 cos ⁡ 2 y

v x , y = - e - 2 x + 2 sen ⁡ 2 y + 1

Seja f : R 2 → R   ,   u , v → f ( u , v ) , uma função que pode ser diferenciada à vontade com respeito à u e á v .

Considere a composta

g x , y = f h x , y   ,   ( x , y ) ∈ R 2

Assuma que

f 1,1 = c

f u 1,1 = a

f v 1,1 = b

a , b , c ≠ 0

  1. Calcule ∇ g ( 1,0 ) em termo de a ,   b .
  2. Considere a curva de nível D = x , y ∈ R 2   g x , y = c } . Exiba a equação cartesiana da reta tangente à D em ( 1,0 ) , justificando que ( 1,0 ) ∈ D .

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Listas de Exercícios Resolvidos

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