Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva espacial parametrizada

α t = x t , y t , z t     ,     t ∈ - π , π

Onde

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

Seja C = α - π , π a imagem ou traço de α .

  1. Escreva uma equação paramétrica da reta r tangente à C em t = π 4 (ou seja, no ponto α π 4 ) .Explicite um vetor diretor de r .
  2. Escreva a equação cartesiana do plano Π ortogonal à α em t = π 4 .

Passo 1

a )

Primeiramente, vamos encontrar nosso vetor diretor da reta tangente.

Pra isso, basta derivar nossa curva.

α t = cos 3 ⁡ t , sen 3 ⁡ t , 1 + sen ⁡ 2 t

α ' t = - 3 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t , 3 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t , 2 cos ⁡ 2 t

Substituindo em t = π 4 , temos

α ' π 4 = - 3 cos 2 ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 , 3 sen 2 ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 , 2 cos ⁡ 2 . π 4

α ' π 4 = - 3 2 2 2 2 2 , 3 2 2 2 2 2 , 2 . 0

α ' π 4 = - 3 2 4 , 3 2 4 , 0

E esse (ou qualquer vetor múltiplo desse) é o vetor diretor da nossa reta tangente r .

Passo 2

Agora, calculando o nosso ponto de tangencia, ou seja, α π 4 , temos:

α t = cos 3 ⁡ t , sen 3 ⁡ t , 1 + sen ⁡ 2 t

α π 4 = cos 3 ⁡ π 4 , sen 3 ⁡ π 4 , 1 + sen ⁡ 2 . π 4

α π 4 = 2 2 3 , 2 2 3 , 1 + 1

α π 4 = 2 4 , 2 4 , 2

Passo 3

Então, a equação paramétrica da reta tangente é:

r t = α   t 0 + α ' t 0 ⋅ t

r t = α π 4 + α ' π 4 ⋅ t

r t = 2 4 , 2 4 , 2 + - 3 2 4 , 3 2 4 , 0 ⋅ t

    t ∈ R

Passo 4

b )

Vamos pensar uma coisinha juntos: se o vetor α ' π 4 = - 3 2 4 , 3 2 4 , 0

É o vetor diretor da reta tangente a curva, significa que ele é paralelo a curva.

Se ele é paralelo a curva, então ele é, automaticamente, perpendicular ao plano que é perpendicular a curva, concorda?

Assim, esse já pode ser nosso próprio vetor normal ao plano no ponto α π 4 = 2 4 , 2 4 , 2

E a equação cartesiana no plano normal à curva é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Beleza, então a gente já tem tudo que precisa, é só substituir!

- 3 2 4 x - 2 4 + 3 2 4 y - 2 4 + 0 z - 2 = 0

E é isso!

PS: não se assuste se o gabarito da prova tiver com uma resposta diferente dessa. Ele pode ter usado um vetor normal diferente. E tudo bem!!!! Porque qualquer vetor MULTIPLO do vetor que a gente usou serve, já que multiplicar (ou dividir) o vetor por um escalar não altera a direção dele, só o módulo, belezinha?

Resposta

a )

r t = 2 4 , 2 4 , 2 + - 3 2 4 , 3 2 4 , 0 ⋅ t

    t ∈ R

b )

- 3 2 4 x - 2 4 + 3 2 4 y - 2 4 + 0 z - 2 = 0