Considere a curva espacial parametrizada
Onde
Seja a imagem ou traço de .
- Escreva uma equação paramétrica da reta tangente à em (ou seja, no ponto ) .Explicite um vetor diretor de .
- Escreva a equação cartesiana do plano ortogonal à em .
Passo 1
Primeiramente, vamos encontrar nosso vetor diretor da reta tangente.
Pra isso, basta derivar nossa curva.
Substituindo em , temos
E esse (ou qualquer vetor múltiplo desse) é o vetor diretor da nossa reta tangente .
Passo 2
Agora, calculando o nosso ponto de tangencia, ou seja, , temos:
Passo 3
Então, a equação paramétrica da reta tangente é:
Passo 4
Vamos pensar uma coisinha juntos: se o vetor
É o vetor diretor da reta tangente a curva, significa que ele é paralelo a curva.
Se ele é paralelo a curva, então ele é, automaticamente, perpendicular ao plano que é perpendicular a curva, concorda?
Assim, esse já pode ser nosso próprio vetor normal ao plano no ponto
E a equação cartesiana no plano normal à curva é:
Beleza, então a gente já tem tudo que precisa, é só substituir!
E é isso!
PS: não se assuste se o gabarito da prova tiver com uma resposta diferente dessa. Ele pode ter usado um vetor normal diferente. E tudo bem!!!! Porque qualquer vetor MULTIPLO do vetor que a gente usou serve, já que multiplicar (ou dividir) o vetor por um escalar não altera a direção dele, só o módulo, belezinha?